在太空中有n個半徑相等的球形星球，如果一個星球表面的某個區域不能被其他任何一個星球所看見，我們就稱這個區域是“隱祕的”。證明：所有這些隱祕的區域的面積之和等於一個星球的表面積。

證明：

可將這些球形星球看作點，隱祕的區域可用角度來表示，所以本題要證明的可等價為隱祕區域角度之和等於360°。用符號*代表隱祕區域。

上圖為n=3時，易知A的*=180°-∠BAC，同理可知····，所以總的角度=540-180=360。此外，如果某一點在兩點之間，則該點沒有隱祕區域。

下面證明平面上的n個點，一定能找到m（m<=n）個點，使得除了這m個點的其他點，都在這m個構成的凸多邊形內。

在N個點中任選一點A，令B點是距離A點最遠的點。連線AB，令l

再證明三角形內部的一點，該點沒有隱祕區域。

B對D貢獻了180°的光明區。令A對D貢獻的光明區除去與B對D光明區重疊的部分為M，M為∠GDE對應的部分，易知∠GDE=∠ADB。令C對D貢獻的光明區除去與B對D光明區重疊的部分為K，則K為∠HDF對應的部分，∠HDF=∠CDB。由於∠CDA小於180°，所以∠HDF+∠GDE＞180°。所以D沒有隱祕區，得證。

由於凸多邊形可以看作由n個三角形組合而成的，所以凸多邊形內部的點都沒有隱祕區。所以本問題轉化為證明凸多邊形的各點的隱祕區角度之和為360°。

下面用歸納法證明。假設n-1個點的凸多邊形的隱祕區角度和為360°。將新加上的第n個點命名為Z。則一定可以找到一條過Z的直線Q，其他的點都在該線的一側。令Q繞Z順、逆時針旋轉碰到的第一個點分別為W、R，則WZ、RZ必然是新凸多邊形的兩條邊，其他所有點都在∠WZR內部，所以除去Z其他所有點對Z產生的隱祕區與W、R點對Z產生的隱祕區相同。同樣，對於除去WZR的其他任一點P，Z都在∠WPR內（可用反證法證明），所以WZR對P產生的隱祕區與WR對P產生的隱祕區相同。所以在加上Z點後，只有WZR三點的隱祕區發生變化。

易知加上Z後，W的隱祕區減小角度為∠RWZ，R的隱祕區減小角度為∠WRZ。Z的隱祕區角度為180°-∠WZR。所以得到的新的n個點的凸多邊形的隱祕區角度=360-∠RWZ-∠WRZ+180°-∠WZR=360°。證畢。