一．實踐題目名稱

最小重量機器設計問題

二．問題描述

設某一機器由n個部件組成，每一種部件都可以從m個不同的供應商處購得。設wij​是從供應商j 處購得的部件i的重量，cij​是相應的價格。試設計一個演算法，給出總價格不超過d的最小重量機器設計。

輸入格式:

第一行有3 個正整數n ，m和d， 0<n<30, 0<m<30, 接下來的2n 行，每行n個數。前n行是c，後n行是w。

輸出格式:

輸出計算出的最小重量，以及每個部件的供應商

三．演算法描述

1.請用回溯法的方法分析“最小重量機器設計問題”

遍歷順序：從一個節點開始，以深度優先的方法搜尋解空間，每一個葉子結點都代表著一個可能性，輸出

剪枝方式：

1）約束法：以：“當前價格+該零件價格<總價格d”作為判斷條件，刪除不滿足約束的子樹。

2）限界法：以：“當前重量+該零件重量<最小重量紀錄”作為判斷條件，將一定不為最優解的子樹刪除。

1.1說明“最小重量機器設計問題"的解空間

本題的解空間為，長度為n的供應商各種組合向量中,總價格不超過d的每個部件的供應商選擇的集合所有可能的部件重量值，{(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3)}。

1.2說明“最小重量機器設計問題"的解空間樹

解空間為一棵m叉樹，共有n層，每一層分別表示需要一個零件，每一個節點的m個分支表示對於每個零件都有

1.3在遍歷解空間樹的過程中，每個結點的狀態值是什麼

間為一該路徑上從第一個節點到該節點的當前總價值cv，和當前總重量cw。

#include<iostream>
using namespace std;
 
int n,m,d;
int c[999][999],w[999][999];

int cw=0,cp=0;//記錄該分支最小的重量和價值
int minw=999; 
int x[999];//儲存當前重量下每個部件供應商的號碼
int minx[999];

void backtrack(int i) 
{
    //遍歷到了子葉 
    if(i>n) 
    {
        
 
if(cp<=d&&cw<minw) 
        {
            minw=cw;
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                minx[j]=x[j];
            }
                
        }
 
    } 
    
    else 
    {
        for(int j=1; j<=m; j++) 
        {
            x[i]=j;//記錄下當前部件是哪一個供應商
            cw=cw+w[i][j];
            cp=cp+c[i][j];
            if(cp<=d&&cw<minw) 
            {
                backtrack(i+1);
            }
             
            //回溯
            cw=cw-w[i][j];
            cp=cp-c[i][j];
        }
    }
}
 
int main() 
{
    //n個元件 m個供應商 總價格不超過d
    cin>>n>>m>>d;
    //第i個零件在第j個產家的價錢 
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
            cin>>c[i][j];
    //第i個零件在第j個產家的重量
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
            cin>>w[i][j];
     //從第一個零件開始遍歷 
    backtrack(1);
    //輸出 
    cout<<minw<<endl;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cout<<minx[i]<<" ";
    return 0;
}

四．對回溯法的理解

回溯法是一個採用深度優先的策略，從根節點開始進行深度遍歷，先判斷該節點是否包含問題的解。如果不包含，則跳過對以該節點為根的子樹的搜尋，回溯到其它祖先節點，直到所有子樹都被遍歷完成，但如果不進行有效的剪枝的話，解空間是非常龐大的，所以我們在平時一定要用約束法和限界法進行有效的剪枝，以節省時間和空間上的開銷。