演算法第5章實驗報告

1.請用回溯法的方法分析“最小重量機器設計問題”

演算法描述：

由於題目已經給出總價格的上限，因此演算法通過使用回溯來選擇合適的機器使得在總價格不超過 d 時得到的機器重量最小。首先初始化當前價格 cc=0 ,當前重量 cw=0 ,此外，還要設定一個變數 mincw 表示選擇機器的總重量，初始化其為每個部件從1號供應商購買的重量。在迴圈選擇 i 號機器時，判斷從 j 號供應商購買機器後的價格是否大於總價格，如果不大於則選擇，否則不選，繼續選擇下一供應商進行判斷。在得到一個合適的供應商後，繼續選擇下一機器的供應商，從第一個選到最後一個供應商，記錄下每個部件選擇的供應商 x[i] 。當所有機器選擇結束後，判斷得到的總重量是否比之前的 mincw 小，如果小就賦給 mincw ，然後從這一步開始，回溯到上一機器，選擇下一合適供應商，繼續搜尋可行解，直到將整個排列樹搜尋完畢。這樣，最終得到的 mincw 即為最優解。
當然，考慮到演算法的時間複雜度，還可以加上一個剪枝條件，即在每次選擇某一機器時，再判斷選擇後的當前重量是否已經大於之前的 mincw ，如果大於就沒必要繼續搜尋了，因為得到的肯定不是最優解。

解題步驟：

a.部件有 n 個，供應商有 m 個，分別用兩個二維陣列 w[i][j] 和 c[i][j] 儲存從供應商 j 處購得的部件 i 的重量和相應價格，d 為總價格的上限。
b.用遞迴函式 backtrack(t) 來實現回溯法搜尋排列樹（形式引數 t 表示遞迴深度）。
① 若 cc > d ，則為不可行解，剪去相應子樹，返回到 t-1 層繼續執行。
② 若 cw >= mincw ，則不是最優解，剪去相應子樹，返回到 t-1 層繼續執行。
③ 若 t > n ，則演算法搜尋到一個葉結點，用 x[i] 對每個部件的供應商進行記錄，用 mincw 對最優解進行記錄，返回到 t-1 層繼續執行；
④ 用 for 迴圈對 n 個順序部件從 m 個不同的供應商購得的情況進行選擇(1 ≤ i ≤ m）。
c.主函式呼叫一次 backtrack(1) 即可完成整個回溯搜尋過程，最終得到的mincw即為所求最小總重量，x[i] 即為每個部件選擇的供應商。

程式碼描述：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cmath>
 3 using namespace std;
 4 
 5 int n,m,d;
 6 int c[30][30];
 7 int w[30][30];
 8 int x[30];
 9 int cc;
10 int cw;
11 int mincw = 10000;
12 int minx[30];
13 
14 void backtrack(int t){
15     if (t > n){
16         if(cw < mincw){
17             mincw = cw;
 
18             for (int i = 1; i < t; i++){
19                 minx[i] = x[i];
20             }
21         }
22         return;
23     }else{
24         for (int i = 1; i <= m; i++){
25             x[t] = i;
26             cc = cc + c[t][i];
27             cw = cw + w[t][i];
28             if (cc <= d && cw < mincw){  
29                 backtrack(t+1);
30             }
31             cc = cc - c[t][i];
32             cw = cw - w[t][i];    
33         }
34             
35     }
36 
37 }
38 
39 int main(int argc, char** argv) {
40     cin >> n >> m >> d;
41     for (int i = 1; i <= n; i++){
42         for (int j = 1; j <= m; j++){
43             cin >> c[i][j];
44         }
45     }
46     for (int i = 1; i <= n; i++){
47         for (int j = 1; j <= m; j++){
48             cin >> w[i][j]; 
49         }
50     }
51     backtrack(1);
52     cout << mincw << endl;
53     for (int i = 1; i <= n; i++){
54         cout << minx[i] << " ";
55     }
56     return 0;
57 }

1.1說明“最小重量機器設計問題"的解空間

解空間即進行窮舉的搜尋空間，包含所有的可能解，這裡以樣例為例寫出解空間：

（i，j，k）表示第1個部件選擇第i個供應商，第2個部件選擇第j個供應商，第3個部件選擇第k個供應商，以此類推。

（1，1，1）（1，1，2）（1，1，3）

（1，2，1）（1，2，2）（1，2，3）

（1，3，1）（1，3，2）（1，3，3）

（2，1，1）（2，1，2）（2，1，3）

（2，2，1）（2，2，2）（2，2，3）

（2，3，1）（2，3，2）（2，3，3）

（3，1，1）（3，1，2）（3，1，3）

（3，2，1）（3，2，2）（3，2，3）

（3，3，1）（3，3，2）（3，3，3）

1.2說明“最小重量機器設計問題"的解空間樹

1.3在遍歷解空間樹的過程中，每個結點的狀態值是什麼。

每個結點的狀態值是該點當前的總重量 cw 和總價格 cc 。

2.你對回溯演算法的理解

2.1　　基本概念：

　　　　回溯法思路的簡單描述是：把問題的解空間轉化成了圖或者樹的結構表示，然後使用深度優先搜尋策略進行遍歷，遍歷的過程中記錄和尋找所有可行解或者最優解。

　 2.2　　使用條件：

　　　　當問題是要求滿足某種性質（約束條件）的所有解或最優解時，便可以使用回溯法，其實有暴力剪枝的意味

　 2.3　　使用思想：

　　　　回溯法常常使用DFS（深度優先搜尋）來進行對解空間的答案搜尋。

　　　　首先從根根部節點出發搜尋解空間，當搜尋至解空間的某一節點時，先利用約束或限界剪枝函式來判斷該節點是否是問題的解。如果不是，則跳過對該節點為根的子樹的搜尋，逐層向其祖先節點回溯；否則，進入該子樹，繼續按深度優先策略搜尋。

　　　　回溯法的基本行為是暴力搜尋，搜尋過程進行剪枝來為了避免無效冗餘的搜尋。

　　　　剪枝主要包括兩類：

　　　　　　1. 使用約束函式，剪去不滿足約束條件的路徑；

　　　　　　2. 使用限界函式，剪去不能得到最優解的路徑。

　2.4　　回溯演算法的經典問題種類：

　　　　（1）裝載問題
　　　　（2）0-1揹包問題
　　　　（3）旅行售貨員問題
　　　　（4）n後問題