Tarjan 連通性
阿新 • • 發佈：2022-03-20
Tarjan 連通性
Tarjan 爺爺的代表作，圖的連通性問題直接解決
兩個核心陣列：
- \(dfn_u\)：\(u\) 的 dfs 序
- \(low_u\)：\(u\) 及 \(u\) 的後代通過返祖邊能回到的最小的 \(dfn\)
四種邊
- 樹邊：dfs 搜尋樹中的邊
- 返祖邊：若在搜尋樹中， \(i\) 是 \(j\) 的祖先，則原圖中從 \(j\) 到 \(i\) 的邊是返祖邊
- 前向邊：若在搜尋樹中， \(i\) 是 \(j\) 的後代，則原圖中從 \(j\) 到 \(i\) 的邊是前向邊
- 交叉邊：若在搜尋樹中， \(i\) 和 \(j\) 不在同一子樹，則從 \(i\) 到 \(j\)的邊是交叉邊
前向邊、交叉邊只存在於有向圖
核心程式碼
int dfn[N],low[N],clk; void tarjan(int u,int fa) { dfn[u]=low[u]=++clk; for(int i=lst[u],v;i;i=nxt[i]) { if(!dfn[v=to[i]]) { tarjan(v,u); low[u]=min(low[u],low[v]); } else if(這是返祖邊) low[u]=min(low[u],dfn[v]); } } int main() { // Input .... for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i])tarjan(i,-1); }
無向圖
無向圖的操作與連通分量有關
- 連通分量：無向圖的極大連通子圖
割點
-
定義：刪去一個點使得圖中聯通分量增加，該點叫做割點
-
求法：如果 \(u\) 存在一個兒子 \(v\) 且 \(low_v\ge dfn_u\)
說明刪去 \(u\) 後 \(v\) 不能通過返祖邊連回 \(u\) 的祖先， \(u\) 是割點
-
特判：如果 \(u\) 是搜尋樹的根且只有 1 個兒子，則 \(u\) 不是割點
割邊（橋）
-
定義：刪去一條邊使得圖中聯通分量增加，該點叫做割邊（橋）
-
求法：如果對於一條邊 \((u,v)\) 且 \(low_v>dfn_u\)
說明刪去該邊後 \(v\)
不能通過返祖邊連回 \(u\) 及 \(u\) 的祖先，該邊是割邊（橋）
割點 & 橋 的實現
int cut[N],br[M<<1];
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++clk;
register int ch=0;
for(int i=lst[u],v;i;i=nxt[i]) {
if(!dfn[v=to[i]]) {
++ch;
tarjan(v,u);
if(low[v]>=dfn[u])cut[u]=1;
if(low[v]>dfn[u])br[i]=br[i^1]=1;
low[u]=min(low[u],low[v]);
} else if(v^fa)
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(fa==-1 && ch==1)cut[u]=0;
}
點雙連通分量
-
定義：無向圖的極大無割點子圖 ，簡稱點雙
-
求法：一個點（如割點）可能在多個點雙中，而一條邊只能在一個點雙中
考慮用棧存下邊，當 \(u\) 是割點時，一直彈棧直到彈出邊 \((u,v)\)，彈出的邊組成點雙
vector<int>bs[N];
int id[N],tot;
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++clk;
for(int i=lst[u],v,nw;i;i=nxt[i]) {
if(!dfn[v=to[i]]) {
s[++top]=i;
tarjan(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if(low[v]>=dfn[u]) {
tot++;
while(1) {
nw=s[top--];
if(id[to[nw]]!=tot)
id[to[nw]]=tot,bs[tot].pb(to[nw]);
if(id[to[nw^1]]!=tot)
id[to[nw^1]]=tot,bs[tot].pb(to[nw^1]);
if(to[nw]==v && to[nw^1]==u)break;
}
}
} else if(v!=fa && dfn[v]<dfn[u]) {
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
s[++top]=i;
}
}
}
邊雙連通分量
- 定義：無向圖的極大無橋子圖，簡稱邊雙
- 求法：可用點雙的思想，把點壓棧，然後遇到橋彈點到彈出 \(u\) ，彈出的點組成邊雙
- 求法 2：更簡單。第一次 \(dfs\) 求出橋，第二次 \(dfs\) 打標記，遇到橋就編號加 1 ，編號相同的點構成邊雙
void tarjan(int u,int fa) {
dfn[u]=low[u]=++clk;
for(int i=lst[u],v;i;i=nxt[i]) {
if(!dfn[v=to[i]]) {
++ch;
tarjan(v,u);
if(low[v]>dfn[u])br[i]=br[i^1]=1;
low[u]=min(low[u],low[v]);
} else if(v^fa)
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
int tot;
void dfs(int u,int fa,int nw) {
cl[u]=nw;
for(int i=lst[u];i;i=nxt[i])
if((v=to[i])^fa) {
if(br[i])++tot,dfs(v,u,tot);
else dfs(v,u,nw);
}
}
有向圖
強連通分量
有向圖中 tarjan 用於求強連通分量
- 強連通圖：一個任意兩點都可以相互到達的有向圖
- 強連通分量：一個有向圖的極大的強連通子圖
求法：將點入棧，遇到 \(dfn_u=low_u\) 時就彈棧頂直到彈出 \(u\) ，彈出的點在一個強連通分量
當 \(low_u<dfn_u\) 時說明強連通分量還可以擴大，所以只能 \(dfn_u=low_u\)
int sz[N],cl[N],tot;
void tarjan(int u) {
dfn[u]=low[u]=++clk,s[++top]=u;
for(int i=lst1[u],v;i;i=nxt1[i]) {
if(!dfn[v=to1[i]]) {
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
} else if(!cl[v]) {
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
if(low[u]==dfn[u]) {
++tot,sz[tot]=1;
while(s[top]!=u)
++sz[tot],cl[s[top]]=tot,--top;
cl[u]=tot,--top;
}
}
縮點
-
作用：將強連通分量看成一個點，可以將原圖縮成一個 DAG
可以用於方便地做 dp
-
做法：求強連通分量給點染色，然後列舉一個每條邊 \((u,v)\)
如果 \(color_u\ne color_v\) 就從 \(color_u\) 向 \(color_v\) 連邊
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=lst[i];j;j=nxt[j])
if(cl[i]!=cl[to[j]])
Ae2(cl[i],cl[to[j]]);
例
縮點後一定是樹，在 \(\text{dfs}\) 序上 dp
設 \(f_{i, j}\) 為做到了 \(dfs\) 序為 \(i\) 的點用了空間為 \(j\) 的最大價值
設 \(\text{dfs}\) 序為 \(i\) 的點是 \(u\) 。\(w\) 是所用空間，\(v\) 是價值
刷表，對於 \(i\) 選或不選討論
\(f_{i+1,j+w_u} = \max(f_{i,j}+v_i)\)
\(f_{i+sz_u,j}=\max(f_{i,j})\)
處理依賴：從根到該點路徑上（不包括該店）的 \(w\) 之和為必須要的空間
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 105;
int n, m, a[N], Ecnt1, lst1[N], b[N], clk;
int dfn[N], st[N], top, cl[N], low[N], tot;
int w[N], v[N], lst2[N], Ecnt2;
int rk[N], sz[N], pre[N], rd[N], f[N][505];
struct Ed { int to, nxt; } e1[N], e2[N];
inline void cmx(int &x, int y) { x < y ? x = y : 1; }
inline void Ae1(int fr, int go) { e1[++Ecnt1] = (Ed){ go, lst1[fr] }, lst1[fr] = Ecnt1; }
inline void Ae2(int fr, int go) { e2[++Ecnt2] = (Ed){ go, lst2[fr] }, lst2[fr] = Ecnt2; }
void tarjan(int u) {
dfn[u] = low[u] = ++clk, st[++top] = u;
for (int i = lst1[u], v; i; i = e1[i].nxt) {
if (!dfn[v = e1[i].to]) {
tarjan(v), low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if (!cl[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
if (low[u] == dfn[u]) {
register int o;
++tot;
while (st[top] ^ u)
o = st[top--], cl[o] = tot, w[tot] += a[o], v[tot] += b[o];
cl[u] = tot, w[tot] += a[u], v[tot] += b[u], --top;
}
}
void dfs(int u) {
rk[++clk] = u, sz[u] = 1;
for (int i = lst2[u], v; i; i = e2[i].nxt)
pre[v = e2[i].to] = pre[u] + w[u], dfs(v), sz[u] += sz[v];
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &b[i]);
for (int i = 1, u; i <= n; i++) {
scanf("%d", &u);
if (u) Ae1(u, i);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) if (!dfn[i]) tarjan(i);
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = lst1[i], v; j; j = e1[j].nxt)
if (cl[i] ^ cl[v = e1[j].to]) ++rd[cl[v]], Ae2(cl[i], cl[v]);
for (int i = 1; i <= tot; i++) if (!rd[i]) Ae2(0, i);
clk = 0, dfs(0);
for (int i = 1, u; i <= clk; i++) {
u = rk[i];
for (int j = pre[u]; j <= m; j++) {
if (j + w[u] <= m) cmx(f[i + 1][j + w[u]], f[i][j] + v[u]);
cmx(f[i + sz[u]][j], f[i][j]);
}
}
printf("%d", f[clk + 1][m]);
}