整除分塊學習筆記

值域分段求和

假如我們要對這樣的式子進行求和：

\[\sum\limits_{i=1}^{n} f(i) \]

如果 \(f(i)\) 的取值有限，只有 \(m\) 個，且對於所有的 \(f(i)=x\) 在序列中都是連續的一段，那麼就可以進行值域分段求和。

找出每個取值 \(x\) 在原序列中的第一次出現的位置 \(L_x\) 和最後一次出現的位置 \(R_x\)，可以在 \(O(m)\) 的時間內算出答案（設 \(v_1,v_2\dots v_m\) 為 \(f(i)\) 的 \(m\) 種取值）：

\[Ans=\sum\limits_{i=1}^{m}(R_i-L_i+1)v_i \]

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例如：

\[\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor{log_2i}\rfloor \]

設 \(f(i)=\lfloor{log_2i}\rfloor\)，容易發現 \(0\le f(i) \le log_2n\) 且單調遞增。運用上述方法，可計算出 \(L_x=2^x,R_x=2^{x+1}-1\)，於是可以在 \(O(logn)\) 的時間內求解：

\[Ans=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor{log_2(n)}\rfloor}2^ii \]

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整除分塊

整除分塊就是 依據整除的性質，對取值種類只有 \(\sqrt n\) 級別的 \(f\) 序列進行的值域分段求和

。

舉幾個簡單的例子：

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\[\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor \]

設 \(f(i)=\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor\)，則 \(f(i)\) 的取值不超過 \(2\sqrt n\) 種且單調遞增。運用上述方法，可計算出 \(L_x=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{x-1}\rfloor}\rfloor+1,R_x=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\rfloor\)，值域分段求和即可，時間複雜度 \(O(\sqrt{n})\)

。

程式碼片段：

for(int l=1,r=0; l<=n;) {
        l=r+1,r=n/(n/l);
        ans+=(n/l)*(r-l+1);
}

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\[\sum\limits_{i=1}^{n}i^2\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor \]

設 \(f(i)=\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor\)，仍然有 \(L_x=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{x-1}\rfloor}\rfloor+1,R_x=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\rfloor\)。考慮對於每一段 \([L_x,R_x]\) 計算答案的貢獻：

\(\sum\limits_{i=L_x}^{R_x}i^2x\)

\(=x\sum\limits_{i=L_x}^{R_x}i^2\)

\(=x(\sum\limits_{i=1}^{R_x}i^2-\sum\limits_{i=1}^{L_x-1}i^2)\)

\(=x(\frac{R_x(R_x+1)(2R_x+1)}{6}-\frac{L_x(L_x+1)(2L_x+1)}{6})\)

然後就可以 \(O(\sqrt n)\) 求解了。

程式碼片段：

for(int l=1,r=0; l<=n;) {
        l=r+1,r=n/(n/l);
        ans+=(n/l)*((r*(r+1)*(r<<1|1)/6-l*(l+1)*(l<<1|1)/6);
}

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習題：

• [CQOI2007]餘數求和

• [清華集訓2012]模積和