P6475 [NOI Online #2 入門組] 建設城市 題解
阿新 • • 發佈:2022-04-17
一道排列組合題,還是我的排列組合太菜了……
選必三重修警告
先說明一個東西:對於 \(n\) 個樓房,高度限制為 \(m\),那麼高度不下降的方案數為 \(C_{n+m-1}^{m-1}\)。
理由:\(n\) 個樓房選高度,變成 \(n+m\) 個樓房選 \(m\) 個高度,並且每個高度必須有得選,隔板法即可,\(n+m-1\) 個空隙插入 \(m-1\) 個板。
題目中一個不上升和一個不下降可以轉化為兩個不上升,接下來分類討論 \(x,y\) 是否在同側也就是同個序列裡面。
先看 \(x,y\) 同側(欽定 \(x<y\)),此時有一個序列方案數就是 \(C_{n+m-1}^{m-1}\)
然後是 \(x,y\) 異側,這一塊需要列舉 \(x,y\) 的高度,設為 \(k\),然後對兩個序列分別討論,注意這裡將 \(x,y\) 全部縮到 \([1,n]\) 裡面,要討論的是兩個數量為 \(n\) 的樓房的方案數。
這裡以 \(x\) 為例,左邊方案數 \(C_{x-1+k-1}^{k-1}\),右邊方案數 \(C_{(n-x)+(m-k+1)-1}^{(m-k+1)-1}\),然後乘起來。對於 \(y\) 也如法炮製,最後四項統一乘起來就是高度為 \(k\)
注意要 \(O(n)\) 求階乘逆元不然你會被卡,以及處理階乘逆元的上限是 \(n+m-1\),不要處理小了。
程式碼裡記得轉換 \(x,y\) 以及上面的組合數括號不要拆掉,拆掉了反而容易錯你還不知道錯在哪(
GitHub:CodeBase-of-Plozia
Code:
/* ========= Plozia ========= Author:Plozia Problem:P6475 [NOI Online #2 入門組] 建設城市 Date:2022/3/17 ========= Plozia ========= */ #include <bits/stdc++.h> typedef long long LL; const int MAXN = 2e5 + 5; const LL P = 998244353; int n, m, x, y; LL fact[MAXN], inv[MAXN], ans; int Read() { int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar(); for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1; for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = sum * 10 + (ch ^ 48); return sum * fh; } int Max(int fir, int sec) { return (fir > sec) ? fir : sec; } int Min(int fir, int sec) { return (fir < sec) ? fir : sec; } LL ksm(LL a, LL b = P - 2, LL p = P) { LL s = 1 % p; for (; b; b >>= 1, a = a * a % p) if (b & 1) s = s * a % p; return s; } LL C(int n, int m) { if (n < m) return 0; return fact[n] * inv[m] % P * inv[n - m] % P; } void Work1() { if (x > n) x = (2 * n + 1 - x), y = (2 * n + 1 - y); if (x > y) std::swap(x, y); for (int i = 1; i <= m; ++i) ans = (ans + C(n + m - 1, m - 1) * C((x - 1) + i - 1, i - 1) % P * C((n - (y + 1) + 1) + (m - i + 1) - 1, (m - i + 1) - 1) % P) % P; } void Work2() { if (x > n) x = (n - (x - n) + 1); if (y > n) y = (n - (y - n) + 1); for (int i = 1; i <= m; ++i) ans = (ans + C((x - 1) + i - 1, i - 1) * C((n - (x + 1) + 1) + (m - i + 1) - 1, (m - i + 1) - 1) % P * C((y - 1) + i - 1, i - 1) % P * C((n - (y + 1) + 1) + (m - i + 1) - 1, (m - i + 1) - 1) % P) % P; } int main() { m = Read(), n = Read(), x = Read(), y = Read(); fact[0] = inv[0] = 1; for (int i = 1, tmp = Max(n, m); i <= 2 * tmp + 2; ++i) fact[i] = fact[i - 1] * i % P; inv[Max(n, m) * 2 + 2] = ksm(fact[Max(n, m) * 2 + 2]); for (int i = Max(n, m) * 2 + 1; i >= 1; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % P; if ((x <= n && y <= n) || (x > n && y > n)) Work1(); else Work2(); printf("%lld\n", ans); return 0; }