\begin{itemize}
\item 行列式具有多線性、反對稱性
\end{itemize}
$\text{性\text{質}}$：行列式是關於列向量組或行向量組的多線性、反對稱函式。

例如
\begin{eqnarray*}
& & \det\,(a_{1},a_{2},...,ka_{i}+b_{i},...,a_{n})\\
& = & k\det\,(a_{1},a_{2},...,a_{i},...,a_{n})+\det\,(a_{1},a_{2},...,b_{i},...,a_{n}),
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
& & \det\,(a_{1},a_{2},...,a_{i},...,a_{j},...,a_{n})\\
& = & -\det\,(a_{1},a_{2},...,a_{j},...,a_{i},...,a_{n}),
\end{eqnarray*}

這也表明矩陣中若有兩列相同或兩行相同的話，其行列式值必為零。

$\text{性\text{質}}$：三類初等矩陣 $P_{i}(k),$ $P_{ij}$, $P_{ij}(k)$
的行列式滿足
\[
\det\,P_{i}(k)=k\det\,I_{n}=k,\quad\quad\det\,P_{ij}=-\det\,I_{n}=-1,
\]
\[
\det\,P_{ij}(k)=\det\,(...,e_{i}+ke_{j},...,e_{j},...)=1+k\times0=1.
\]

\subsection{矩陣及其轉置的行列式相等 }

$\text{性\text{質}}$：對於一個排列 $(i_{1},i_{2},...,i_{n})$，交換其中的兩個元素，排列的奇偶性改變。

$\text{定\text{理}}$： $\det\,(A)=\det\,(A^{T}).$

$Proof.$ 我們知道，所謂行列式，是指矩陣中所有取自不同行不同列的 $n$ 個元素的代數和。所以，要證明矩陣的行列式等於它的轉置矩陣的行列式，只需要證每次排列的逆序數奇偶性相同即可。以四階矩陣為例，假設某次我們選出了
$a_{14},a_{21},a_{32},a_{43}$ ，它的列指標形成排列 $(4,1,2,3)$。當我們對矩陣做轉置後，這些元素變為
$a_{41},a_{12},a_{23},a_{34}$ ，從上到下應為 $a_{12},a_{23},a_{34},a_{41}$，這時列指標形成排列
$(2,3,4,1)$。
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
第一行 & 1 & 2 & 3 & 4\tabularnewline
\hline
\hline
第二行 & 4 & 1 & 2 & 3\tabularnewline
\hline
\end{tabular}
\par\end{center}

以上表格若第一行表示自然排列，則第二行表示轉置前的列指標排列 $(4,1,2,3)$；可以看出，如果將第二行調整為自然排列，則其對應的第一行就會變成轉置後的列指標排列
$(2,3,4,1)$。這一觀察表明，轉置前的排列與轉置後的排列，它們逆序數完全相同！因而它們逆序數的奇偶性也完全相同！對於 $n$
階矩陣，情況是類似的。證畢。 $\square$

\subsection{行列式滿足乘法運算 }

$\text{定\text{理}}$： $\det\,(AB)=\det\,A\cdot\det B.$

$Proof.$ 由於不可逆矩陣的行列式為零，因而只需考慮 $A,B$ 是可逆矩陣的情形。一個矩陣左乘初等矩陣或右乘初等矩陣，相當於對該矩陣做相應的初等行變換或初等列變換，所以，以下結論是明顯的：
\[
\det\,(P_{i}(k)A)=k\det\,A=\det\,(AP_{i}(k)),
\]
\[
\det\,(P_{i}A)=-\det\,A=\det\,(AP_{ij}),
\]
\[
\det\,(P_{ij}(k)A)=\det\,A=\det\,(AP_{ij}(k)).
\]

這就說明初等矩陣與可逆矩陣的乘積的行列式滿足乘法運算。進一步地，我們知道，一個可逆矩陣總是可以寫成有限個初等矩陣的乘積，這樣就可以反覆使用上面的結論。於是證完。
$\square$

$\text{註記}$：運用本定理證明的思路和結論，也可以用來證明 $\det\,(A)=\det\,(A^{T}).$