上一講我們瞭解了線性代數中行列式的基礎知識，這一講繼續來學習行列式中的八個基本性質，並給出這些性質嚴謹的證明，學習行列式基本性質的目的是為了面對高階行列式通過對性質的靈活運用，巧妙地計算出高階行列式的值。

本文中所涉及的性質中，均預設原本的行列式為 \(D\)

性質一：設行列式轉置後得到 \(D_1\) 則有 \(D_1=D\) ，其中轉置指將行列式的行列互換，即對於行列式中的元素 \(a_{ij}\) 轉置後得到 \(a_{ji}\) 。

證明：

在 \(D\) 中取一項 \((-1)^{k+l}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}...a_{i_nj_n}\) 則此項必定也在 \(D_1\)

中。

舉個例子來說明，三階行列式中一定有\(a_{12}a_{23}a_{31}\) 項。

那麼轉置後，新的三階行列式中也一定有 \(a_{12}a_{23}a_{31}\) 項，只不過轉置後， \(a_{12}a_{23}a_{31}\) 所表示的值可能會發生變化，但是對於任意一項 \((-1)^{k+l}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}...a_{i_nj_n}\) 都有一項 \((-1)^{l+k}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}...a_{i_nj_n}\) 對應。

所以求和後值不變，故有 \(D=D_1\)

性質二： \(D\) 中互換任意兩行得 \(D_1\) ，則有 \(D=-D_1\)

證明：

\(D\) 中取一項 \((-1)^t a_{1 j_1}a_{2 j_2}...a_{p j_p}...a_{q j_q}...a_{n j_n}\) 則此項也在 \(D_1\) 中。並且因為交換了第 \(p\) 行和第 \(q\) 行。

所以相當於 \(j_1,j_2,...,j_n\) 這個序列交換了兩個數，所以此序列的逆序數 \(\pm1\) ，所以 \(t\) 的奇偶性發生了變化

所以發現每一項都變為原來的相反數，故 有\(D=-D_1\)

性質三：若一個行列式中有兩列相同則 \(D=0\)

證明：

先由性質一，一個行列式兩列相同等價於兩行相同，所以我們將命題轉化為若一個行列式中有兩行相同則 \(D=0\)

。

再由性質二，交換這兩個相同的行，顯然行列式的值並不會改變，但是根據性質二，我們可以得出 \(D=-D\)

所以得出 \(D=0\)

性質四：若 \(D\) 中有一行變為原來的 \(k\) 倍，得到新行列式 \(D_1\)，則有 \(D_1=kD\)

證明：

結合上一講的知識我們知道，行列式中每一項都是從每一行每一列中選出一個元素並將這些元素相乘，即一行中或一列中的元素，一定分佈在行列式展開式的每一項中。

而其中一行的元素又變為了原來的 \(k\) 倍，所以行列式中每一項都變為了原來的 \(k\) 倍

所以有 \(D_1=kD\)

性質五：行列式若有一行是 \(0\) 則 \(D=0\)

請注意這是行列式計算中的中心性質，因為這條性質給了我們在計算行列式時的目標，即儘可能多的將行列式中的元素變為 \(0\)

證明： 比較顯然，證明略。

性質六：若行列式中有兩行成比例，則 \(D=0\)

證明：

兩行成比例的行列式不妨轉化為，有一個兩行相等的行列式，其中的某一行變為了原來的 \(k\) 倍，發現根據性質三和性質四，我們就輕鬆的拿到這個結論

性質七：若 \(D\) 中第 \(i\) 行可以寫成兩項之和 \(a_{ij}=b_j+c_j,\ \ \ j=1,2,3,...\) 則 \(D=D_1+D_2\)

簡化命題即要證：

\[{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\b_1+c_1&b_2+c_2&...&b_n+c_n\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\b_1&b_2&...&b_n\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\c_1&c_2&...&c_n\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}} \]

證明：

將 \(D\) 中一項 \(a_{1 j_1}a_{2 j_2}...a_{i j_i}...a_{n j_n}\) 替換為 \(a_{1 j_1}a_{2 j_2}...(b_i+c_i)...a_{n j_n}\)

而等式右邊必有 \(a_{1 j_1}a_{2 j_2}...b_i...a_{n j_n}+a_{1 j_1}a_{2 j_2}...c_i...a_{n j_n}\)

將無關項提出來即可得 \(a_{1 j_1}a_{2 j_2}...(b_i+c_i)...a_{n j_n} = (b_i+c_i) a_{1 j_1}a_{2 j_2}...a_{n j_n}\)

進而對兩邊求和即可得到這個結論，簡化為 \(D=D_1+D_2\)

性質八：

\[若 D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\...&...&...&...\\b_1&b_2&...&b_n\\c_1&c_2&...&c_n\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}}，D_1={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\...&...&...&...\\kc_1+b_1&kc_2+b_2&...&kc_n+b_n\\c_1&c_2&...&c_n\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}} ，則有 D_1=D \]

證明：

實際上就是結合了性質六和性質七，我們可以觀察 \(D_1\) 發現第三行，可以將每一項拆成 \(kc_i+b_i\) ，於是結合性質七，就變成了兩個行列式相加，結合性質六可知，\(kc_i\) 的行列式值為 \(0\) ，而 \(b_i\) 的行列式等於 \(D\) 所以有 \(D_1=D+0\) ，所以該結論成立。

總結來說，如果理解了行列式中前幾條性質，後面的幾條性質與前面的聯絡密切，可以自己推出。