我理解的高等代數——1從方格紙到線性空間
我理解的高等代數——1從方格紙到線性空間
目錄前幾天，看到了b站上這個視訊，他使用視覺化，直觀的角度來幫助我們對線性代數建立了更加直覺的感知。我在觀看視訊的時候，突然發現有一些想法是我之前學習的時候的想法。但是在學習的時候並沒有記錄下來筆記，有些遺憾。
大家知道，對於課程，剛開始學習去理解的角度和學完課程之後理解的角度是不一樣的，學生的角度和老師的角度也是不一樣的。所以，為什麼這就是為什麼很多部落格從小白角度出發更能夠得到大多數人的認同和感觸。因為大家遇到了同樣的困惑和問題。小白的角度不一樣對，但是更符合同為小白的人的處境。
我嘗試從學完線性代數的新小白來重新理解線代。希望能夠梳理一下，也希望能夠給大家一個角度。拋磚引玉，給大家帶來一些思考。
視訊中說理解線性代數可以有數學，物理，計算機三個角度。我的物理很一般，就是高中物理的水平，所以我也就從生活中的概念，數學和計算機的角度來進行闡述。
從空間說起
我覺得線性代數最核心的觀念是空間的觀念。
其實空間，我們生活中已經很熟悉了。我們就生活在三維空間之中，一張紙就是一個二維的平面，我們也可以叫做二維空間。我們在二維空間中還可以建立座標系，給出某一點的座標。這是我們小學就學過的知識，我們也一直在用。
畫在方格上的空間
但，等等，我們能不能對已經司空見慣的空間提出一些問題呢？我始終相信，提出一個問題遠遠比解決一個問題更重要，答案就在問題之中。
首先我們不妨以我們熟悉的二維空間為例。
來看看我們已經學過小學的知識
從小學說起
人教社小學數學一年級下冊《位置》
教學目標：認識上、下、前、後、左、右六個方位，並能用這六個方位確定位置，描述簡單的位置關係
人教社小學數學三年級下冊《位置與方向》
認識了東、南、西、北和東南、西南、東北、西北八個方向，並能用這些詞語描述物體的方向
人教社小學數學五年級 《位置》
用數對錶示具體情境中物體的位置 ；在方格紙上用數對確定物體的位置 。
人教社小學數學六年級上冊 《位置與方向（二）》
根據方向和距離兩個條件確定物體的位置，並描述簡單的路線圖
我們小學五年級就學過在方格紙上用數對能夠確定物體的位置；在高中物理中，我們知道向量也可以用數對來表示，並可以在二維平面中畫出來。
但是有一個問題，不知道大家發現沒有？那就是我們的空間是在方格紙上的。或者說我們的二維空間就是方格子的。
大家或許會說，這能有什麼問題？但是大家在看世界地圖的時候有沒有發現，世界地圖的樣子並完全不是方格子的？這是為什麼呢？這個問題我不解釋，只是想要啟發一下大家，很多司空見慣的事情背後也存在很多問題。
座標系的確立
好吧，讓我們繼續這個問題，首先我們已經觀察到並習慣於劃在方格子上的空間。那我們就現在這種情形下，來展開討論。
在數學中，我們總可以通過建立座標系來確定位置的座標。當然了，如果是在一維平面，那就是座標軸。
在確立座標系，我們需要考慮三個問題，分別是，原點的選取，方向的確立和單位距離\(1\)的確定。
如果我們選取的不同的原點和方向以及單位距離1，那麼我們對物體的描述將會截然不同。
那麼在這裡，大家會不會產生一個問題，不同的座標系的選取會帶來什麼影響？不同的座標系選取又存在什麼聯絡呢？很好，恭喜同學又提出了一個問題。
大家應該都能夠理解原點和方向會對座標系的確立產生影響，但是對於單位距離\(1\)是怎麼理解的呢？這就好比，小紅把一km作為一個單位距離，而小明把一英里作為一個單位距離，那麼在即使座標系原點和方向完全一致，那麼他們對同一物體的描述結果也是不一樣的。這裡的不一樣是值數值不一樣，但是兩者描述的事物卻是相同的。這也就是在地圖時，我們要關注比例尺的原因。
比如你說“蘋果”，mike說‘apple’，從語言上來說，這是兩個不同的東西，但其實描述的是同一物體
同樣的，這裡的單位距離\(1\),並不只代表物理上可以測量的量度。它可以代表任何東西，但在數值上他就是單位一。
插一嘴，數學的本質就是抽象。
我們從數字就可以看出。一個人可以用1表示，一朵花也可以用1表示，一雙筷子可以用1表示，一群魚也可以用1表示。1它什麼也不是，它又什麼都是。
單位一也是同樣，它可以代表距離，也可以表示其他任何事物。
物體的描述——參照系
好了，我們現在已經有了兩個假設
- 空間是畫在方格紙上面的
- 我們自己已經選擇了原點，座標系，和單位距離\(1\)，確立了一個座標系。
那麼我們就在這兩個假設下，繼續我們的探索。
我們小學剛開始學習的是物體的位置關係，是使用“前後左右上下”六個方位來描述物體的，這種表述是在三維空間中的表述。而在二維平面上，實際上是在地圖中我們是用“東西南北，以及這四個方向之間的東南，東北，西南，西北來描述位置。
值得注意的的是，我們在使用這些詞語的時候來描述一個物體都需要一個參照物，而通常我們預設是拿自己作為參照物的。
這也就是為什麼廣東人把廣東以北的地方都叫做北方的原因吧。
遐想一下，這麼說來，每個人看待世界都是以自己本身作為參照系，那麼每個人眼中的世界是不是不一樣的呢？
在二維平面我們通常由x,y軸來確定，把原點作為參照物。把x,y的箭頭的方向稱之為正方向，另一端稱之為負方向，在負方向上的向量，我們在向量前新增一個橫線來進行表示。
有序數對，座標，向量
在給定座標系之後，我們就能夠通過一個有序數對來描述一個物體在座標上的位置。同樣的思路，那我們就能使用有序數對來描述二維平面上每一個點的座標。值得注意的是，這裡的數對是有序的，我們預設是橫座標在前，縱座標在後。
同樣的，我們也可以把這樣的一個有序數對，寫成一個向量的形式，用向量來表示座標。那麼在這種情形下，向量裡的元素自然就不能交換位置了，因為他們代表的含義不同。
當然了，對於向量這個概念也有不同的理解。
在物理中，我們使用向量表示一個向量，也就是一個帶著箭頭，長度的線段，在物理中，這個向量是可以隨意移動的，但是在數學中，我們一般把它的出發點固定在原點座標上面。第一個數代表沿著x軸方向走多遠，正數代表向右移動（也就是x軸正方向），負數代表向左移動（也就是x軸負方向）；第二個數表示沿著平行y軸走多遠，正數代表向上移動（也就是y軸正方向），負數代表向下移動（也就是y軸負方向）。
這樣我們就得到了整個空間中的所有向量，每一個向量都可以用一個向量(數對)表示。同時我們發現每一個向量的末端指向一個點，每一個點剛好也唯一對應一個向量。這樣我們就得到了
\[\text{向量 }[a,b] \Longleftrightarrow \text{有序數對}(a,b) \Longleftrightarrow \text{向量,帶箭頭線段 } \overrightarrow{ab} \Longleftrightarrow \text {二維空間中的點} \Longleftrightarrow \text {座標} \]一一對應的關係。
為了區別向量和數對，我們通常會把向量寫成一列，但這並不影響其含義。
\[\left[ \begin {array}{1} 1 \\ 2 \end{array} \right ] = [1,2]^T \]這裡的上標\(^T\)的含義就是把這個向量放倒，可以看到在向量裡面的元素的前後順序沒有變化。
在計算機中，向量，可以看成允許重複的有序的物體的一個組合，也就是列表。如果向量只表示數字的話，那就是陣列。值得注意的是這裡面的限定詞，允許重複出現，有序。
於是我們就得到了
\[\text{數字列表} \Longleftrightarrow \text{向量 }[a,b] \Longleftrightarrow \text{有序數對}(a,b) \Longleftrightarrow \text{向量,帶箭頭線段 } \overrightarrow{ab} \Longleftrightarrow \text {二維空間中的點} \Longleftrightarrow \text {座標} \]當給出一個數字列表，我們就能在空間中將其視覺化；當給定一個點，我們可以得到它的座標；
（這裡面當然包含隱藏的假設，即空間與座標系）
基向量
在二維空間中，我們可以選擇一組基向量，通常是選取從原點出發，方向分別為x,y軸方向，單位長度為1的向量作為基向量，分別記為\(i,j\)。因為這兩個向量長度為單位\(1\)，所以稱之為單位基向量。
或者記為\(\hat{i},\hat{j}\)但這只是記號的區別。
當然我們也可以選擇其他的基向量，但這兩個向量能夠成為二維空間的基向量的條件是，能夠通過它們的線性組合生成二維空間中所有的向量。
這裡我們提到了線性組合，線性組合的含義就是這兩個向量的相加和數乘。這一點，我會在接下來的部分介紹。
同樣的我們提到是有兩個向量，這是因為我們現在是在二維空間中討論的。如果是在三維空間中，那麼一組基向量就包含三個向量。擴充套件到n維空間，一組基向量就需要有n個向量。
好，那麼既然我們可以選擇不同的基向量，那麼我們自然會有疑問，不同的基向量會帶來哪些不同？很好，我們又提出了一個問題。
我們注意到，我們基向量選取的\(i,j\)是從原點出發，方向分別為x,y軸方向，單位長度為1的向量。實際上如果選定不同的基向量，我們自然也就有了一個 不同的座標系。反過來，當我們選定了不同的座標系，自然也就有了不同的基向量。所以基向量的確定和座標系的確定是一致的。
當我們確定基向量之後，我們可以從基向量的角度來理解向量。
對於向量\([2,3]\)來說，其含義為\(2 \times i , 3\times j\),也就是說，方向是由基向量\(i,j\)決定的，表示在基向量\(i\)方向上運動長度為單位\(1\)的兩倍，再往基向量\(j\)方向運動長度為單位\(1\)的三倍所得到的那個向量。
也可以說是把\(i\)拉伸為原來的2倍，把\(j\)拉伸為原來的3倍，這兩個經過縮放的向量的和就是我們的向量\([2,3]\)
向量的相加和數乘
我們考慮物理意義，向量的相加是很自然的，
我們可以從物理中運動的角度理解,向量表示一種特定的運動，即在空間中朝著某一方向邁出一定距離，如果先沿著第一個向量運動， 然後再按著第二個向量所描述的運動方式運動，總體效果與你沿著這兩個向量的和運動無異
也可以看做是數軸上加法的擴充套件
向右移動兩步，在向右移動5步，總體效果與向右移動7步無異
我們還可以從基向量的角度理解，
例如 \((1,2)+(3,4)=(1+3,2+4)=(4,6)\), 先往x軸正向移動1個單位，y軸正向移動2個單位，然後再往x軸正向移動3個單位，y軸正向移動4個單位 ，
我們不妨在將其移動在兩個方向上統一起來，讓我們先完成所有的水平運動，再完成所有的豎直運動
那就是往x軸正向移動1+3個單位，y軸正向移動2+4個單位，
\((1,2)+(3,4)=(1\times i,2\times j)+(3\times i,4 \times j)=(1+3)\times i , (2+4)\times j =4\times i , 6 \times j=(4,6)\)
\[\overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} 1 \\ 2 \end{array} \right ]} + \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} 3 \\ 4 \end{array} \right ] }= \left[ \begin {array}{1} 1 \times \overrightarrow{i} \\ 2 \times \overrightarrow{j} \end{array} \right ] + \left[ \begin {array}{1} 3 \times \overrightarrow{i} \\ 4 \times \overrightarrow{j} \end{array} \right ] = (\left[ \begin {array}{1} 1 \\ 2 \end{array} \right ] + \left[ \begin {array}{1} 3 \\ 4 \end{array} \right ]) \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} i \\ j \end{array} \right ]} = \left[ \begin {array}{1} 4 \\ 6 \end{array} \right ] \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} i \\ j \end{array} \right ]} = \left[ \begin {array}{1} 4 \overrightarrow{i} \\ 6 \overrightarrow{j} \end{array} \right ] = \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} 4 \\ 6 \end{array} \right ]} \]如果是負號，那就表示往相反方向移動，即\((1,2)-(3,4)=(1,2)+(-3,-4)=(1+(-3),2+(-4))=(-2,-2)\)
我們還可以單純的從向量是數字列表的觀點出發
向量加法就是對應項相加,向量的第一項和第一項相加，第二項和第二項相加
向量的數乘，就是保持方向不變，向量長度變為原來向量長度的k倍。
如果乘以一個負數，那麼表示首先向量反向，然後長度再變為原來的k倍 ， 或者說，先將向量變為原來的k倍，然後在將其反向 ，其實這兩個動作是同時發生的，最終結果是一樣的
\[\begin{aligned} -3 \times \overrightarrow{a} &=\overrightarrow{a} \times -3 \\ & = \overrightarrow{a} \times (-1) \times 3 = (- \overrightarrow{a}) \times 3 \text{先將向量反向，再將長度變為原來3倍} \\ & = \overrightarrow{a} \times 3 \times (-1) = (3 \overrightarrow{a}) \times (-1) \text{先將向量長度變為原來3倍，然後再反向} \end{aligned} \]在幾何上這種方向不變，長度伸縮的變換稱之為縮放，我們選擇的數字，它們用來刻畫向量（向量）縮放的程度，稱之為標量。
從基向量的理解,就只是數值相乘，方向和單位長度依然是由單位基向量\(i,j\)決定。換而言之就是改變了原來的向量對單位基向量的縮放比例。
\[3 \times \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} 1 \\ 2 \end{array} \right ]} = 3 \cdot \left[ \begin {array}{1} 1 \ \overrightarrow{i} \\ 2 \ \overrightarrow{j} \end{array} \right ] = 3 \cdot \left[ \begin {array}{1} 1 \\ 2 \end{array} \right ] \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} i \\ j \end{array} \right ]} = \left[ \begin {array}{1} 3 \times1 \\ 3 \times 2 \end{array} \right ] \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} i \\ j \end{array} \right ]} =\left[ \begin {array}{1} 3 \\ 6 \end{array} \right ] \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} i \\ j \end{array} \right ]} = \left[ \begin {array}{1} 3 \ \overrightarrow{i} \\ 6 \ \overrightarrow{j} \end{array} \right ] = \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} 3 \\ 6 \end{array} \right ]} \]
從數字列表理解時，向量與標量相乘就是將向量中的每一個分量與標量相乘
於是我們又有了
\[\text{向量 } \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} a \\ b \end{array} \right ]} \Longleftrightarrow \text{ 標量} \times \text{基向量} \left[ \begin {array}{1} a \\ b \end{array} \right ] \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} i \\ j \end{array} \right ]} \Longleftrightarrow a \overrightarrow{i} +b\overrightarrow{j} \]也就是說，當我們討論向量的時候，其實我們總是已經預設一組基向量，也就是預設了一個特定的空間與座標系。
這時候我們就有
\[\text{數字列表} \Longleftrightarrow \text{向量 } \overrightarrow{ \left[ \begin {array}{1} a \\ b \end{array} \right ]} \Longleftrightarrow \text{有序數對}(a,b) \\ \Longleftrightarrow \text{ 標量} \times \text{基向量} \left[ \begin {array}{1} a \\ b \end{array} \right ] \overrightarrow{ \left( \begin {array}{1} i \\ j \end{array} \right )} \Longleftrightarrow a \overrightarrow{i} +b\overrightarrow{j} \Longleftrightarrow [i,j] \left[ \begin {array}{1} a \\ b \end{array} \right ] (矩陣計算形式) \\ \Longleftrightarrow \text{向量,帶箭頭線段 } \overrightarrow{ab} \Longleftrightarrow \text {二維空間中的點} \Longleftrightarrow \text {座標系下的座標} \]在這一系列可以相互轉化的概念中，基向量是最核心的概念，正是由於基向量，我們給我們搭建了從空間到數字的橋樑。
在向量的加法中還有一個值得討論的是問題，也就是一些需要特別注意的元素，比如零向量。顯然零向量就是從原點出髮指向原點的向量，也就代表原點這個點。
零元素是加法的單位元：也就是一個向量加上零向量還是它的本身。
\[\overrightarrow{0}+ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{0} = \overrightarrow{a} \]此外有了零向量，
\[\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}= \overrightarrow{0}=\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{a} \]這裡\(\overrightarrow{a}\), $ \overrightarrow{b}\(互為逆元 ，我們可以把\)\overrightarrow{b}\(記作\) - \ \overrightarrow{a}$ ，也可以把\(\overrightarrow{a}\)記作 $ - \overrightarrow{b}$，這裡的 $ \overrightarrow{b}$和 $ \overrightarrow{a}$的對應關係是唯一的。
或者稱\(\overrightarrow{a}\)為 \(\overrightarrow{b}\)的負元素
我們就可以定義向量加法的逆運算，減法： \(\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)\) 。其含義為，往原點某一個方向前進一定距離，然後在反向前進同樣的距離，就回到了原點。
這裡需要注意的是，我們不經意地使用了“零元素，單位元，逆運算，逆元”的概念，但是這並沒有影響到我們的直觀理解。
此外，對於向量的加法，我們能夠得到向量運算的
-
交換律 \(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)
-
結合律\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}= \overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)
-
消去律 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c} ,\text{則}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c} $
同樣的，在向量的數乘中，我們有基於數（標量）的相關運算規則
- \(k(l \ \overrightarrow{a }) = (kl)\overrightarrow{a}\)
數量乘法與加法滿足下面兩條規則
- \((k+l)\overrightarrow{a }=k\overrightarrow{a }+l\overrightarrow{a }\)
- \(k(\overrightarrow{a }+\overrightarrow{b })=k\overrightarrow{a }+k\overrightarrow{b}\)
上面這兩條規則有著很清晰的幾何表達。
線性組合與線性相關
好了，讓我們嘗試回答我們之前的問題，：如果我們選擇不同的基向量會怎麼樣？
讓我們任選兩個向量\(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\),然後通過改變縮放的比例\(a,b\)，得到不同的線性組合
\[a \ \overrightarrow{v}+ b \ \overrightarrow{w} \]那麼，通過改變\(a,b\)，我們能夠得到哪些二維向量？
通常的答案是可以得到所有的二維向量，為什麼呢？
我們，可以這麼做，我們不妨先固定住一個基向量，然後改變另一個向量的長度，這樣他們組合就能畫出一條線；然後再改變固定的基向量，就又得到了另一條線，不斷重複，我們就得到了整個平面。
但是也有其他的情況
- 兩個向量都是零向量，那麼最終只能得到零向量
- 當一個向量是零向量的時候，我們只能得到由另一個非零向量縮放形成的直線
- 如果兩個非零向量是共線的，那麼最終我們也只能得到一條直線
當這兩個向量能夠形成整個二維空間時，我們稱之為線性無關；否則我們稱這兩個向量是線性相關的；
在這裡這兩個向量能夠得到的結果我們稱之為這兩個向量能夠張成的空間
我們看到，倒數第二種有一個是零向量的時候和最後一種能夠形成的結果是一致的，那我們也就可以理解我，最後一種情形下，有一個是不需要的，實際上起作用的只有一個向量
然後我們繼續擴充套件這個概念 ，
首先，我們來看一下在三維情況下 ，我們任選三個向量 ，都是非零向量，這三個向量又能形成什麼結果呢
- 三維空間中的所有向量，或者說能夠組成整個三維空間
- 三維空間中的一個二維平面，這時候只有兩個向量起作用了
- 三維空間中的一條直線，這時候只有一個向量起作用了
- 三個都是零向量，只能得到零向量
第一種情形，我們稱之為這三個向量是線性無關的 ；剩下的情形是線性相關的
我們可以繼續推廣到n個向量的情形下，我們就得到了線性相關和線性無關的一個定義。
那就是，n個向量如果能夠張成n維空間，那麼就稱這n個向量是線性無關的。否則就是線性相關的。
此外，對於線性無關，我們還有另一種表述，線性表出。它講的是什麼呢？
當我們有三個向量\(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{s}\)，他們只能形成一個二維平面的時候。那麼就意味著有一個向量\(\overrightarrow{s}\)沒有發揮作用，原因是這個向量\(\overrightarrow{s}\)是落到了另外兩個向量\(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\)所形成的平面中。那麼也就是說，這個沒發揮作用的向量\(\overrightarrow{s}\)也可以被另外兩個向量通過線性組合的形式表示出來即\(\overrightarrow{s}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}\)
如果一組向量中存在這種其中某些向量能夠被其他向量線性表出的情況，我們就稱這組向量是線性相關的。
基向量與線性無關
在我們介紹基的概念的時候，我們提到了
兩個向量能夠成為二維空間的基向量的條件是，能夠通過它們的線性組合生成二維空間中所有的向量。
後面這可以用線性無關的概念重新描述 ，
兩個向量能夠成為二維空間的基向量的條件是，它們是線性無關的
也就是說，一組基向量肯定是線性無關的；反過來，n個線性無關的向量總是能夠張成n維的線性空間。
空間的維度
在我們上面的介紹中，我們不經意頻繁地使用了空間的維度這個概念。
對於維度，我們在生活中有著基本的感知，
比如，一維空間就是指一條直線，在這個空間之中，就只能沿著這條直線執行
二維空間中，也就是一個平面，你只能在這個平面上移動；
在數學中，一個空間的維度，也就是指形成整個空間的基向量的個數，也可以說是在這個空間中一組線性無關的向量的最大的個數
在計算機中，空間的維度，通常代表著不同屬性的個數，比如，我們可以說身高，體重，年齡就組成了一個3維空間。
線性空間
我們介紹完了很多概念，這些概念有，線性變換，線性相關，線性無關，空間的維度，基向量 ， 以及向量、數字、空間的對應關係。
那麼讓我們再回過頭來考慮，最開始的假設條件空間是畫在方格紙上面的
它究竟意味著什麼呢？
空間畫在方格紙上面，就是說，這個空間是線性空間，它是我們進行推理的基礎，
如果這個空間是扭曲的，那麼我們向量基本的加法和數乘就不一定能符合我們上面的定義了
所以我們應定義一個類似於“畫在方格紙上的”空間，能夠滿足我們加法和數乘的基本運算。
事實上，線性空間的定義就是定義了基本的加法和數乘運算。
其數學定義為128，即
線性空間定義
-
非空集合 數域\(P\)上的一個非空集合\(V\)
-
對加法和數乘有封閉性
- 給出一個加法法則，對於\(V\)中任意兩個元素\(\alpha\)與\(\beta\)，在\(V\)中都有唯一的一個元素\(\gamma\)與它們對應，稱為\(\alpha\)與\(\beta\)的和，記作\(\gamma=\alpha+\beta\)。
- 給出數量乘法運算，對於數域\(P\)中任一數\(k\)和\(V\)中任一元素\(\alpha\)，在\(V\)中都有唯一的一個元素\(\delta\)與它們對應，稱為\(k\)與\(\alpha\)的數量乘積，記作\(\delta=k\alpha\)。
-
滿足8條規則
-
加法滿足下面四條規則：
- 加法交換律\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\);
- 加法結合律\((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)；
- 零元素 在\(V\)中有一個元素\(0\)，對於\(V\)中任一元素\(\alpha\)都有\(0+\alpha=\alpha\)。\(0\)稱為\(V\)中的零元素。
- 負元素 對於\(V\)中的每一個元素\(\alpha\)，都有\(V\)中的元素\(\beta\)，使得\(\alpha+\beta=0\),。\(\beta\)稱為\(\alpha\)的負元素。
-
數量乘法滿足下面兩條規則：
- 單位元素 \(1 \alpha=\alpha\)。
- \(k(l\alpha)=(kl)\alpha\)
-
數量乘法與加法滿足下面兩條規則
- \((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)
- \(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)
在以上規則中\(k,l\)表示數域\(P\)中的任意數；\(\alpha,\beta,\gamma\)表示集合\(V\)中的任意元素。
-
線性空間中的元素也稱為向量，線性空間也稱為向量空間。
再稍微擴充套件一下，只要能夠符合線性空間的定義的，裡面元素滿足基本的加法和數乘運算規律的集合都可以稱之為一個線性空間。這裡的線性空間的元素就不再僅僅是我們數學上的向量的概念了。
例如，我們可以構建一個n維的多項式線性空間， 我們可以驗證上面的定義，只要其符合，那麼我們就可以稱之為線性空間。在這個多項式線性空間中，我們可以選定一組基為\(1,x,x^2,\cdots,x^n\) 。
我們還可以定義一個由身高和體重組成的線性空間，但如果我們忽略掉單位，那他就是一個普通的二維線性空間。但這樣定義以後，我們任意給出一個人的身高，體重，就能夠在一個二維平面上繪製出相應的向量，點和座標。
好了，我們介紹完了線性空間，接下來我們要解決的問題是，我們選定不同的基向量和座標系，對物體的描述會帶來什麼影響，不同的座標系之間的關聯又是怎樣的呢？