3我理解的高等代數3——線性變換

線性變換

第一節我們介紹了線性空間，他就是一個方格紙。

第二節我們介紹了座標系變換中，基變換和座標之間的關係。

接下來讓我們考慮在座標系變換中的變換本身這個東西。

讓我們繼續回到我們熟悉的情形，讓我們重新描述這個過程。

通過一個變換或者說乘以一個矩陣A，我們使得原來的方格紙發生了變化。變化後的結果還是一個方格紙。 原來的一些向量大多數發生了相應的變化，但是有一些向量方向沒有發生變化只是長度發生了變化。

我們發現這個變化是有一些特點的，

• 1 就是變化後並沒有改變方格紙這個基本形狀。按著數學的語言描述，那就是這個變換使得一個線性空間變成了一個新的線性空間。
• 2 整個變換對於原來的向量之間的對應關係是沒有發生變化的。用數學的語言描述就是 它保持了原來元素的加法和數量乘法。

其實，這個變換就是一個特殊的對映，是一個滿足上述兩條性質的特殊的對映。

線性變換空間

那麼我們可以得到很多具有上面性質的變換，我們如果把每一個變換記一個數學符號，比如\(\mathscr{A},\mathscr{B},\cdots\)

我們想，這些元素是不是也符合線性空間的要求，組成一個線性空間。事實上，這個變換時能夠組成線性空間的。

既然是一個線性空間，那麼就能得到這個空間的零元素和單位元。我們一般記為\(0,\epsilon\)

同時我們還可以在這些元素的基礎上定義運算，乘法，加法，數乘，逆變換。多形式運算。

線性變換與向量的像

我們說，線性變換是一個特殊的對映，那麼對於集合A（也就是定義域）在集合B（也就是值域）都會有一個元素與之對應。

我們設有一組基為\([i,j]\),那我們記變換前的元素為\(a\),其座標在基\([i,j]\)下的座標為\((x_1,x_2)\) ，

,那麼變換後的元素\(\mathcal{A}a\)在基\([i,j]\)下的座標\((y_1，y_2)\)就有這樣的一個對應關係

\[\left ( \begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \\ \end{matrix} \right ) =A \left ( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right ) \]

線性變換與基

在一組基下，我們能夠描述一個線性變換,這樣的一個變換對應著一個矩陣

\[\mathscr{A}\varepsilon_i=\alpha_i \ \ \ \ A e =a \]

那麼我們接下來想問一個問題，如果換一組基，這個變換會是怎樣的形式，它和原來的基下的變換有什麼關係。

首先我們有兩組基，不妨記為 \([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)和\([\eta_1,\eta_2]\)

然後我們有一個從基 \([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)到基的\([\eta_1,\eta_2]\)過渡矩陣是\(X\)。

這裡再讓我們回顧一下過渡矩陣，這個過渡矩陣其實就是新的基\([\eta_1,\eta_2]\)在原來的基下\([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)面的座標\((a,b),(c,d)\)，我們把這個座標放在一起組成了一個矩陣\(X\)

\[X = \left( \begin{array}{1} a, & c\\ b , &d \end{array} \right ) \]

這個矩陣第一列的元素是新基\(\eta_1\)在下\([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)的座標，第二列的元素是新基\(\eta_2\)的在下的坐\([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)標

我們有\([\eta_1,\eta_2]=[\varepsilon_1,\varepsilon_2]X\)

然後我們來看一下這兩個變換，用矩陣形式表示有

\[\mathscr{A}\varepsilon_i= [\varepsilon_1,\varepsilon_2]A \\ \mathscr{A}\eta_i= [\eta_1,\eta_2] B \]

我們知道變換會保持原來元素的關係，於是變換後我們仍然有

\[\mathscr{B}\eta_i=\mathscr{A}\varepsilon_i X \]

用矩陣形式表示就是

\[[\eta_1,\eta_2] B= [\varepsilon_1,\varepsilon_2]A X \]

我們將基從基 \([\varepsilon_1,\varepsilon_2]\)到基的\([\eta_1,\eta_2]\)過渡矩陣\(X\) 的對應關係\([\eta_1,\eta_2]=[\varepsilon_1,\varepsilon_2]X\)帶入得到

\[[\varepsilon_1,\varepsilon_2]X B= [\varepsilon_1,\varepsilon_2]A X \]

可以得到

\[B =X^{-1}AX \]

整個過程的推導關鍵在於，基向量通過線性變換後仍然存在著過渡矩陣的一個變化關係。

相似

如果兩個矩陣有著我們上面推匯出的關係 ，即

設\(A、B\)是數域\(P\)上兩個\(n\)級矩陣，如果可以找到數域\(P\)上的\(n\)級可逆矩陣\(X\)，使得\(B=X^{-1}AX\)，就說\(A\)相似於\(B\)，記作\(A \sim B\)