2 座標系變換與矩陣

在第一彈中，我們簡單介紹了線性空間，並留下了一個問題，那就是我們選定不同的基向量和座標系，對物體的描述會帶來什麼影響，不同的座標系之間的關聯又是怎樣的呢？

首先，毫無疑問的是，當我們選定一組新的基向量之後，同一個物體，在不同的座標系下有了不同的描述結果。

橙色的座標系雖然看起來有些奇怪，但是毫無疑問它的確是一個座標系，因為他能夠把這個二維平面中的所有點都表示出來。

好了我們有了這兩個座標系，那我們想問的是在橙色的座標系下，對這個藍色小圓的描述是怎樣的呢？

我們不妨先將這個小球在橙色座標系下的位置設為[x,y] 。

值得注意的是，在兩個座標系下的數值倏然不同，但是我們描述的依然是同一個物體。就是這個藍色小球，而不是其他的三角形等物體。

另外一個值得注意的是，這兩個座標系的原點是一致的，也就是說這個變化並沒有改變原點的位置。

那麼又產生了一個新的問題，從藍色座標到黃色座標的變換時怎樣的呢？

記得上次我們所說的從空間到數值的關鍵橋樑是什麼嗎？對就是基向量，讓我們從基向量的角度來看一看這個變換過程。

那為什麼要這麼做呢，讓我們來看

我們有

\[\overrightarrow{ \left[ \begin{array}{1} 3\\ 4 \end{array} \right ] } = \left[ \begin{array}{1} 3\\ 4 \end{array} \right ] \left( \begin{array}{1} \overrightarrow{i}\\ \overrightarrow{j} \end{array} \right) =(3,4) =3 \overrightarrow{i}+ 4\overrightarrow{j} \\ =[i,j] \left[ \begin{array}{1} 3\\ 4 \end{array} \right ] =[3,4] \left[ \begin{array}{1} i\\ j \end{array} \right ] \\ \overrightarrow{ \left[ \begin{array}{1} x\\ y \end{array} \right ]} = \left[ \begin{array}{1} x\\ y \end{array} \right ] \left( \begin{array}{1} \overrightarrow{v}\\ \overrightarrow{w} \end{array} \right ) =(x,y) = x \overrightarrow{v} + y\overrightarrow{w} \\ =[v,w]\left[ \begin{array}{1} x\\ y \end{array} \right ] =[x,y]\left[ \begin{array}{1} v\\ w \end{array} \right ] \\ \]

注意，在上面的式子中，第一個是向量乘法，也就是對應元素直接相乘；後面的是矩陣乘法 ，

我們發現，向量乘法總是可以用矩陣乘法來進行表達，而且把它寫作行向量和列向量並沒有任何區別，只是我們的習慣而已。

在這裡我們可以回顧一下，上一篇文章的內容，我們可以將向量理解為對基向量的伸縮 ，

實際上這只不過是在兩個不同的視角下描述的同一物體，於是我們有

\[[i,j]\left[ \begin{array}{1} 3\\ 4 \end{array} \right ] =[v,w]\left[ \begin{array}{1} x\\ y \end{array} \right ] \]

這兩個座標的數值是根據基向量的變化來的，所以根本的原因是座標系的變化，也就是基向量的變化。那麼我們只需要找出這兩個基向量的變化過程，然後我們就能得到相應的向量的結果。

基變換

那我們怎樣來找這個基向量的變化呢？

首先，我們在基向量\(i,j\)形成的座標下來看這個基向量的變化過程 ， 我們可以看到這時候在我們的藍色座標系下，橙色的兩個基向量能夠使用\(i,j\)來表述出來 ，我們不妨設\(i,j\)為\(1,1\) ,\(v,w\)為\((-3,2),(1,-4)\)

我們有

\[\overrightarrow{ \left[ \begin{array}{1} v\\ w \end{array} \right ] } = \left[ \begin{array}{1} -3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\\ \overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j} \end{array} \right ] \\ \left[ \begin{array}{1} v\\ w \end{array} \right ] = \left( \begin{array}{1} -3, & 2\\ 1 , &-4 \end{array} \right ) \left[ \begin{array}{1} i\\ j \end{array} \right ] \\ [v,w] =[i,j] \left( \begin{array}{1} -3, & 1\\ 2 , &-4 \end{array} \right ) \]

同樣，上面是向量乘法，下面是矩陣乘法。但是其表達的含義是一樣的，只不過數學規範定義的運算不一樣而已。

第二個式子，我們把向量寫作列向量的形式 ；第三個式子，我們把向量寫成了行向量的形式。

記這個矩陣為\(A\) ，我們來觀察一下這個矩陣，

在第二個式子中，左端是我們新的一組基，右邊是原來的一組基 ， 矩陣中，第一行的元素就是\(v\)在\(i,j\)下的座標，第二行的元素就是w在\(i,j\)下的座標。

我們就得到了從基\(i,j\)到基\(v,w\)變換的矩陣 ，

座標變換

我們將上面基變換的矩陣帶入等式，於是就能得到

\[[i,j]\left[ \begin{array}{1} 3\\ 4 \end{array} \right ] =[v,w]\left[ \begin{array}{1} x\\ y \end{array} \right ] \\ [v,w] =[i,j] \left( \begin{array}{1} -3, & 1\\ 2 , &-4 \end{array} \right ) \\ [i,j]\left[ \begin{array}{1} 3\\ 4 \end{array} \right ]= [i,j] \left( \begin{array}{1} -3, & 1\\ 2 , &-4 \end{array} \right ) \left[ \begin{array}{1} x\\ y \end{array} \right ] \]

這樣，我們就得到了在同一座標系下的描述，因為\([i,j]\)是基向量，也就是單位向量，於是我們有

\[\left[ \begin{array}{1} 3\\ 4 \end{array} \right ]= \left( \begin{array}{1} -3, & 1\\ 2 , &-4 \end{array} \right ) \left[ \begin{array}{1} x\\ y \end{array} \right ] \]

我們就能求出\([x,y]\)的座標那就是

\[\left( \begin{array}{1} -3, & 1\\ 2 , &-4 \end{array} \right )^{-1} \left[ \begin{array}{1} 3\\ 4 \end{array} \right ]= \left[ \begin{array}{1} x\\ y \end{array} \right ] \]

上面這個式子就描述了兩個不同座標系下，描述同一物體的座標關係。其中，最關鍵的就是兩個基向量變換的矩陣。通過這個矩陣，不但描述了基向量之間的變換關係，還表述了座標之間的關係。我們看到座標的變換關係和基向量的變換關係是一致的。

\[\left( \begin{array}{1} -3, & 1\\ 2 , &-4 \end{array} \right )^{-1} \left[ \begin{array}{1} v\\ w \end{array} \right ]= \left[ \begin{array}{1} i\\ j \end{array} \right ] \]

同時，我們來觀察這個式子，我們發現這個矩陣裡的元素就是向量\([v,w]\)在基\([i,j]\)下的座標\([-3,2],[1,4]\)

回顧

首先，我們找到了新的基\([v,w]\)在原來的基\([i,j]\)的座標\((a,b),(c,d)\)，我們把這個座標放在一起組成了一個矩陣\(A\)

\[A = \left( \begin{array}{1} a, & c\\ b , &d \end{array} \right ) \]

這個矩陣第一列的元素是新基\(v\)在\([i,j]\)下的座標，第二列的元素是新基\(w\)的在\([i,j]\)下的座標

這個矩陣\(A\)就描述了基之間的變換關係

\[[v,w] =[i,j] A \]

我們也需要明確，兩個不同的座標只是同一個向量空間不同參照系對同一個物體的描述，我們不妨設兩個座標分別是

\[\left[ \begin{array}{1} x_1\\ x_2 \end{array} \right ] \left[ \begin{array}{1} x_1'\\ x_2' \end{array} \right ] \]

這樣我們有

\[[v,w] \left[ \begin{array}{1} x_1'\\ x_2' \end{array} \right ]= [i,j]\left[ \begin{array}{1} x_1\\ x_2 \end{array} \right ] \]

這樣將其帶入，我們就得到在同一座標系下對這個物體的描述，

\[[i,j]A \left[ \begin{array}{1} x_1'\\ x_2' \end{array} \right ]=[i,j]\left[ \begin{array}{1} x_1\\ x_2 \end{array} \right ] \]

這個式子，就說明如果在基\([v,w]\)下我們對某個物體有一個描述\((x'_1,x'_2)\),然後我們想要得到在原來的基\([i,j]\)下對這個物體的描述，我們只需要左乘這個矩陣\(A\)即可。

那麼反過來。我們在原來的基\([i,j]\)下我們對某個物體有一個描述\((x_1,x_2)\) ,我們想要得到在新的基\([v,w]\)下對這個物體的描述,我們只需要左乘這個矩陣\(A\)的逆即可。

\[\left[ \begin{array}{1} x_1'\\ x_2' \end{array} \right ] = A^{-1} \left[ \begin{array}{1} x_1\\ x_2 \end{array} \right ] \]

在整個過程中，矩陣\(A\)充當了一組基到另一組基的橋樑，我們稱之為過渡矩陣。

而且這個過渡事實上就是可逆的。

但等等，我們將兩個基向量進行變換，一般的情形時是我們得到了一個類似的座標系，但還有別種情況就是

• 我們把兩個基向量變到了同一條線上，也就是變換後的維度降低了，那麼在這種情形下，這個矩陣就相當於我們對這個二維空間向一維空間做了一次投影，這樣的對映結果就是多對一
• 我們左乘一個\(3 \times 2\)維度的矩陣，得到結果是一個有著三個元素的向量，這就是被對映到了高維度的三維空間 ， 這種對映結果可能是一對多 ，也就是上面描述降維的反過程升維

特徵值與特徵向量

在座標系變換的時候，大多數向量在新的座標系下的方向和長度都發生了變化。但是有一些向量只是長度發生了變化，但是方向沒有變。我們把這些方向沒有變化的向量稱之為特徵向量，把長度變化的比例稱之為特徵值。

\[A \xi = \lambda_0 \xi \]

含義：為什麼要用到這個概念呢，因為特徵值的奇特之處就在於整個空間的變換並沒有影響到它的方向，這是不簡單的。類似於，王朝更替，但大家還是學習儒學，所以這個不變的儒學就代表著某些含義。