高等代數6 線性空間
高等代數6 線性空間
目錄
集合
- 集合就是指作為整體看的一堆東西。組成集合的東西稱為這個集合的元素。
對映
-
設\(M,M'\)是兩個集合，集合\(M\)到集合\(M'\)的一個對映就是指一個法則，它使\(M\)中的每一個元素\(a\)都有\(M'\)中一個確定的元素\(a'\)與之對應。如果對映\(\sigma(a)=a'\)，\(a'\)稱為\(a\)在對映\(\sigma\)下的像，而\(a\)稱為\(a'\)在對映\(\sigma\)下的一個原像
。\(M\)到\(M\)自身的對映，有時也稱為\(M\)到自身的變換。
集合\(M\)到集合\(M'\)的兩個對映\(\sigma\)及\(\tau\)，若對\(M\)的每個元素\(a\)都有\(\sigma(a)=\tau(a)\)，則稱它們相等，記作\(\sigma=\tau\)。
-
單位對映
設\(M\)是一個集合，定義 \(\tau(a)=a,a\in M\)
即\(\sigma\)把每個元素對映到它自身，稱為集合\(M\)的恆等對映或單位對映，記作\(1_M\)，可以簡記為\(1\)。
-
滿射 如果\(\sigma(M)=M'\)，對映\(\sigma\)就稱為滿射
。 -
單射 如果在對映\(\sigma\)下，\(M\)中不同元素的像也不同，即由\(a_1 \neq a_2\)，一定有\(\sigma(a_1)\neq \sigma(a_2)\)，那麼對映\(\sigma\)就稱為單射。
-
雙射 一個對映既是單射又是滿射就稱為雙射，或\(1-1\)對應。
-
逆對映 對於\(M\)到\(M'\)的雙射\(\sigma\)，我們可以定義它的逆對映，記為\(\sigma^{-1}\)。
對於對映我們可以定義乘法
設\(\sigma,\tau\)分別是集合\(M\)到集合\(M'\)，\(M'\)到\(M''\)的對映，乘積\(\tau\sigma\)
\[(\tau\sigma)(a)=\tau(\sigma(a)),a\in M \]
即相繼執行\(\sigma、\tau\)的結果，\(\tau\sigma\)是\(M\)到\(M''\)的對映。
適合結合律 \((\psi \tau)\sigma=\psi(\tau\sigma)\)
線性空間
定義
-
非空集合 數域\(P\)上的一個非空集合\(V\)
-
對加法和數乘有封閉性
- 給出一個加法法則，對於\(V\)中任意兩個元素\(\alpha\)與\(\beta\)，在\(V\)中都有唯一的一個元素\(\gamma\)與它們對應，稱為\(\alpha\)與\(\beta\)的和，記作\(\gamma=\alpha+\beta\)。
- 給出數量乘法運算，對於數域\(P\)中任一數\(k\)和\(V\)中任一元素\(\alpha\)，在\(V\)中都有唯一的一個元素\(\delta\)與它們對應，稱為\(k\)與\(\alpha\)的數量乘積，記作\(\delta=k\alpha\)。
-
滿足8條規則
-
加法滿足下面四條規則：
- 加法交換律\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\);
- 加法結合律\((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)；
- 零元素 在\(V\)中有一個元素\(0\)，對於\(V\)中任一元素\(\alpha\)都有\(0+\alpha=\alpha\)。\(0\)稱為\(V\)中的零元素。
- 負元素 對於\(V\)中的每一個元素\(\alpha\)，都有\(V\)中的元素\(\beta\)，使得\(\alpha+\beta=0\),。\(\beta\)稱為\(\alpha\)的負元素。
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數量乘法滿足下面兩條規則：
- 單位元素 \(1 \alpha=\alpha\)。
- \(k(l\alpha)=(kl)\alpha\)
-
數量乘法與加法滿足下面兩條規則
- \((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)
- \(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)
在以上規則中\(k,l\)表示數域\(P\)中的任意數；\(\alpha,\beta,\gamma\)表示集合\(V\)中的任意元素。
-
線性空間中的元素也稱為向量，線性空間也稱為向量空間。
簡單性質
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零元素是唯一的。
-
負元素是唯一的。
利用負元素，定義減法：\(\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)\)
-
\(0\alpha=0,k0=0,(-1)\alpha=\alpha\)
-
如果\(k\alpha=0\)，那麼\(k=0或\alpha=0\)
線性相關與無關
-
單個向量\(\alpha\)是線性相關的充分必要條件是\(\alpha=0\)
兩個以上向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)線性相關的充分必要條件是其中有一個向量是其餘向量的線性組合。
-
如果向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)線性無關，而且可以被\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)線性表出，那麼\(r \leq s\)。
兩個等價的線性無關的向量組必定含有相同個數的向量。
-
如果向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)線性無關，但向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\beta\)線性相關，那麼\(\beta\)可以被\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)線性表出，而且表示是唯一的。
維度
-
如果線上性空間\(V\)中有\(n\)個線性無關的向量，但是沒有更多數目的線性無關的向量，那麼\(V\)就稱為是\(n\)維的。
如果在線上性空間\(V\)中有任意多個個線性無關的向量，那麼\(V\)就稱為是無限維的。
基、座標
-
在\(n\)維線性空間\(V\)中，\(n\)個線性無關的向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)稱為\(V\)的一組基。
設\(\alpha\)是\(V\)中任一向量，於是\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n,\alpha\)線性相關，因此\(\alpha\)可以被\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)線性表出：
\[\alpha=a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+\cdots+a_n\varepsilon_n \]
其中係數\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是被向量\(\alpha\)和基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)唯一確定的，這組數就稱為\(\alpha\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)下的座標，記為\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)
-
定理
如果線上性空間\(V\)中有\(n\)個線性無關的向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)，且\(V\)中任一向量組都可以用它們線性表出，那麼\(V\)是\(n\)維的，而\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)就是\(V\)的一組基。
基變換與座標變換
在同一向量空間下，同一個向量在不同基下的座標是不同的。
設\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)與\(\varepsilon_1',\varepsilon_2',\cdots,\varepsilon_n'\)是\(n\)維向量空間的兩組基，它們的關係是
\[\begin{cases} \varepsilon_1'=a_{11}\varepsilon_1 +a_{12}\varepsilon_2+\cdots +a_{1n}\varepsilon_n \\ \varepsilon_2'=a_{21}\varepsilon_1 +a_{22}\varepsilon_2+\cdots +a_{2n}\varepsilon_n \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ \varepsilon_n'=a_{n1}\varepsilon_1 +a_{n2}\varepsilon_2+\cdots +a_{nn}\varepsilon_n \\ \end{cases} \\ (\varepsilon_1',\varepsilon_2',\cdots,\varepsilon_n') =(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n) \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\ \end{matrix} \right ) \\ A= \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\ \end{matrix} \right ) \]
設$\xi $在這兩組基下的座標分別是 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)與$ x_1,x_2,\cdots,x_n$
\[\xi=x_{1}\varepsilon_1 +x_{2}\varepsilon_2+\cdots +x_{n}\varepsilon_n =(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n) \left ( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right ) \\ =x_{1}'\varepsilon'_1 +x_{2}\varepsilon'_2+\cdots +x'_{n}\varepsilon'_n =(\varepsilon'_1,\varepsilon'_2,\cdots,\varepsilon'_n) \left ( \begin{matrix} x'_{1} \\ x'_{2} \\ \vdots \\ x'_{n} \\ \end{matrix} \right ) \]
將(3)式帶入(4)得
\[\left ( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\ \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} x'_{1} \\ x'_{2} \\ \vdots \\ x'_{n} \\ \end{matrix} \right ) \\ \left ( \begin{matrix} x'_{1} \\ x'_{2} \\ \vdots \\ x'_{n} \\ \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\ \end{matrix} \right )^{-1} \left ( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right ) \]
上式給出了在基變換（3）下向量的座標變換公式。
子空間
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數域\(P\)上線性空間\(V\)的一個非空集合\(W\)稱為\(V\)的一個線性子空間（或簡稱為子空間），如果\(W\)對於\(V\)的兩種運算也構成數域\(P\)上的線性空間。
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定理 子空間條件
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線性空間\(V\)的非空子集合\(W\)
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\(W\)對於\(V\)中原有兩種運算具有封閉性
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如果\(W\)中包含向量\(\alpha\)，那麼\(W\)就一定同時包含域\(P\)中的數\(k\)和\(\alpha\)的數量乘積\(k\alpha\).
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如果\(W\)中包含向量\(\alpha，\beta\)，那麼\(W\)就同時包含\(\alpha,\beta\)的和\(\alpha+\beta\)
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零子空間 線上性空間中，由單個的零向量所組成的子集合是一個線性子空間，叫做零子空間。
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線性空間\(V\)本身也是\(V\)的一個子空間。
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平凡子空間 零子空間和線性空間本身這兩個子空間叫做平凡子空間。其他線性子空間叫做非平凡子空間。
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由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)生成的子空間
設\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)是線性空間\(V\)的一組向量，
不難看出，這組向量所有可能的線性組合\(k_1\alpha_1+\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r\)所構成的集合是非空的，
而且對這兩種運算封閉
所以是\(V\)的一個線性子空間。
這個子空間叫做由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)生成的子空間，記為\(L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)\)
-
定理
- 兩個向量組生成相同子空間的充分必要條件是這兩個向量組等價；
- \(L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)\)的維數等於向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)的秩。
-
定理
設\(W\)是數域\(P\)上\(n\)維線性空間\(V\)的一個\(n\)維子空間，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)是\(W\)的一組基，那麼這組向量必定可以擴充為整個空間的基。
也就是說，在\(V\)中必定可以找到\(n-m\)個向量\(\alpha_{m+1},\alpha_{m+2},\cdots,\alpha_n\)使得\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是\(V\)的一組基。
子空間的運算——交與和
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定理
如果\(V_1,V_2\)是線性空間\(V\)的兩個子空間，那麼它們的交\(V_1\cap V_2\)也是\(V\)的子空間。
由集合的交的定義可以看出，子空間的交適合以下運算律：
-
交換律 \(V_1 \cap V_2 =V_2 \cap V_1\)
-
結合律 \((V_1 \cap V_2)\cap V_3 =V_1\cap (V_2 \cap V_3)\)
由結合律我們可以定義多個子空間的交 \(V_1 \cap V_2 \cap \cdots \cap V_s = \cap_{i=1}^sV_i\)
-
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定義 子空間的和
\(V_1,V_2\)是線性空間\(V\)的兩個子空間,所謂\(V_1\)與\(V_2\)的和，是指所有能夠表示為\(\alpha_1+\alpha_2\)，而\(\alpha_1 \in V_1,\alpha_2 \in V_2\)的向量組成的子集合，記作\(V_1+V_2\)。\(V_1+V_2=\{\alpha|\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1\in V_1,\alpha_2 \in V_2\}\)
由定義可以看出，子空間的和適合以下運算律：
-
交換律 \(V_1 + V_2 =V_2 + V_1\)
-
結合律 \((V_1 + V_2)+ V_3 =V_1 + (V_2 + V_3)\)
由結合律我們可以定義多個子空間的交 \(V_1 + V_2 + \cdots + V_s = \sum_{i=1}^sV_i\)。
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定理
如果\(V_1,V_2\)是線性空間\(V\)的兩個子空間，那麼它們的和\(V_1 + V_2\)也是\(V\)的子空間。
關於子空間的交與和有以下結論：
-
設\(V_1,V_2,W\)都是子空間，那麼由$W \subset V_1 \(與\)W \subset V_2 \(可以推出\)W \subset V_2 \cap V_1 $；
由$W \supset V_1 \(與\)W \supset V_2 \(可以推出\)W \supset V_2 + V_1 $；
-
對於子空間\(V_1\)與\(V_2\)，以下三個論斷是等價的：
-
\(V_1 \subset V_2\);
-
\(V_1 \cap V_2 =V_1\)；
-
\(V_1+V_2=V_2\)
-
- 例子
- 在三維幾何空間中，用\(V_1\)表示一條通過原點的直線，\(V_2\)表示一張通過原點且與\(V_1\)垂直的平面，那麼\(V_1,V_2\)的交是\(\{0\}\)，而\(V_1,V_2\)的和是整個空間。
- 在一個線性空間\(V\)中，我們有
\[L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)+L(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t) \\ =L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t) \]
-
定理 維數定理
如果\(V_1,V_2\)是線性空間\(V\)的兩個子空間，那麼
維（$V_1$）+維（$V_2$） =維（$V_1+V_2$）+維（$V_1 \cap V_2$）
推論 ：如果\(n\)維線性空間\(V\)中兩個子空間\(V_1,V_2\)的維數之和大於\(n\)，那麼\(V_1,V_2\)必含有非零的公共向量。
子空間的直和
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定義
設\(V_1,V_2\)是線性空間\(V\)的子空間，如果和\(V_1+V_2\)中每一個向量\(\alpha\)的分解式
\[\alpha=\alpha_1+\alpha_2 ,\ \ \alpha_1 \in V_1 ,\alpha_2 \in V_2 \]
是唯一的，這個和就稱為直和，記為\(V_1\oplus V_2\)
例子1中子空間的和就是直和。
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定理
和\(V_1+V_2\)是直和的充分必要條件是
等式 \(\alpha_1+\alpha_2=0 ,\ \ \alpha_1 \in V_1 ,\alpha_2 \in V_2\)只有在\(a_1,a_2\)全為零向量時才成立。
- 推論： 和\(V_1+V_2\)為直和的充分必要條件是\(V_1 \cap V_2=\{0\}\)
-
定理
設\(V_1,V_2\)是線性空間\(V\)的子空間，令\(W=V_1+V_2\)，則\(W=V_1\oplus V_2\)的充分必要條件是
\[維(W)=維(V_1)+維(V_2) \]
-
互補子空間，補空間
定理
設\(U\)是線性空間\(V\)的一個子空間，那麼一定存在一個子空間\(W\)，使\(V=U\oplus W\)。
\(U\)叫做\(W\)的補空間，\(U\)和\(W\)互為補子空間。
推廣到多個子空間的情形
- 定義
設\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)是線性空間\(V\)的子空間，如果和\(V_1+V_2+\cdots+V_s\)中每一個向量\(\alpha\)的分解式
\[\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s ,\ \ \alpha_i \in V_i(i=1,2,\cdots,s) \]
是唯一的，這個和就稱為直和，記為\(V_1\oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s\)
- 定理 設\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)是線性空間\(V\)的子空間，下面這些條件是等價的
- \(W=\sum V_i\)是直和；
- 零向量的表法唯一；
- \(V_i \cap \sum_{j \neq i}{V_j}=\{0\}\ \ \ (i=1,2,\cdots,s)\)；
- 維(\(W\))=\(\sum\)維（\(V_i\)）
同構
向量在用座標表示後，它們的運算就可以歸結為它們座標的運算。線性空間\(V\)的討論可以歸結於\(P^n\)的討論。
- 定義
數域\(P\)上兩個線性空間\(V\)與\(V'\)稱為同構的，如果由\(V\)到\(V'\)有一個雙射\(\sigma\)具有以下性質：
-
\(\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)\)；
-
\(\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)\)
其中\(\alpha,\beta\)是\(V\)中任意向量，\(k\)是\(P\)中任意數。
這樣的對映\(\sigma\)稱為同構對映。
基本性質
-
\(\sigma(0)=0,\sigma(-\alpha)=-\sigma(\alpha)\)。
-
\(\sigma(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r)=k_1\sigma(\alpha_1)+k_2\sigma(\alpha_2)+\cdots+k_r\sigma(\alpha_r)\)。
-
\(V\)中向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)線性相關的充分必要條件是它們的像\(\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_r)\)線性相關。
同構的線性空間有相同的維數
-
如果\(V_1\)是\(V\)的一個子空間，那麼\(V_1\)在\(\sigma\)下的像集合 \(\sigma(V_1)=\{\sigma(\alpha)|\alpha \in V_1\}\)是\(\sigma(V)\)的子空間，並且\(V_1\)與\(\sigma(V_1)\)維數相同。
-
同構對映的逆對映以及兩個同構對映的乘積還是同構對映。
同構對映作為線性空間之間的關係，具有自反性，對稱性，傳遞性。
數域\(P\)上任一個\(n\)維線性空間都與\(P^n\)同構。
數域\(P\)上任意兩個\(n\)維線性空間都同構。
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定理
數域\(P\)上兩個有限線性空間同構的充分必要條件是它們有相同的維數。
維數是有限線性空間的唯一的本質特徵。