泊松分佈

以下是我基於個人理解寫出，恐有疏漏與錯誤，批判式閱讀，歡迎指正錯誤

泊松分佈適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數,是二項分佈的一種極限情況，可從二項分佈推導得出

適用於發生概率很小（小概率事件（相對而言））但是期望適中的隨機事件，並且事件發生與否互不影響（相對獨立事件）

（例如槍擊案，航空事故等事件），並且事件發生概率穩定（由於二項分佈計算式的前提就是每個事件發生概率相同）

推導過程如下：

不妨設事件發生概率為p，並假設事件發生時間與單位時間/單位面積（總體時間/面積）相比微乎其微甚至可忽略於是把總時間無限分割為n份（n的時間大於等於事件發生時間）

則數學期望 \(μ＝ n*p\)

(μ可近似取事件發生的平均次數)，引數k是指實際發生的次數

列出其二項分佈表示式：

\[P(X = k) = C^k_n * p^k*(1-p)^{n-k} \] \[=>P(X = k) = C^k_n*(\frac{\mu}{n})^k*(1-\frac{\mu}{n})^{n-k} \]

因為有：

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}C^k_n*(1-\frac{\mu}{n})^{-k}*n^{-k} = \frac{1}{k!} \]

又有

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}(1-\frac{\mu}{n})^n = e^{-\mu} \]

再令 \(\mu ＝ \lambda\)

由此得出其概率函式（但實際上\(\lambda\)為其期望和方差）

\[=>P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}*\lambda^k}{k!} \]

（可利用卡方分佈來驗證概率是否準確，可以此推測事件發生概率是否變化）

特別的，將 X 改為 t 的函式 N 則有

\[P(N(t) = k) = \frac{e^{-{\lambda}t}*{{\lambda}t}^k}{k!} \]

其實際意義是，t 個單位時間內，時間發生 k 次的概率

一般的，λ = np 當n ≥ 20 ， p ≤ 0.05(小概率事件)時，可用泊松公式近似計算