【校招VIP】產品分析考點之資料指標提高
阿新 • • 發佈：2022-04-13
重心
樹的重心也叫樹的質心。對於一棵樹n個節點的無根樹，找到一個點，使得把樹變成以該點為根的有根樹時，最大子樹的結點數最小。
樹的重心定義為樹的某個節點，當去掉該節點後，樹的各個連通分量中，節點數最多的連通分量其節點數達到最小值。樹可能存在多個重心。如下圖，當去掉點1後，樹將分成兩個連通塊：（2,4,5），（3,6,7），則最大的連通塊包含節點個數為3。若去掉點2，則樹將分成3個部分，（4），（5），（1,3,6,7）最大的連通塊包含4個節點；第一種方法可以得到更小的最大聯通分量。可以發現，其他方案不可能得到比3更小的值了。所以，點1是樹的重心。
性質
1.樹上所有的點到樹的重心的距離之和是最短的，如果有多個重心，那麼總距離相等。
2.把兩棵樹通過一條邊相連，新的樹的重心在原來兩棵樹重心的連線上。
3.一棵樹新增或者刪除一個節點，樹的重心最多隻移動一條邊的位置。
4.一棵樹最多有兩個重心，且相鄰。
演算法分析
和樹的最大獨立問題類似，先任選一個結點作為根節點，把無根樹變成有根樹，然後設\(d[i]\)表示以\(i\)為根的子樹的結點的個數。不難發現 \(d[i]=∑d[j]+1,j∈s[i]\)。\(s[i]\)為\(i\)結點的所有兒子結點的編號的集合。程式也十分簡單：只需要DFS一次，在無根樹轉有根數的同時計算即可，連記憶化都不需要——因為本來就沒有重複計算。
那麼，刪除結點i後，最大的連通塊有多少個呢？結點i的子樹中最大有\(max(d[j])\)
【模板】樹的重心
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=3e5; int head[N],ne[N],value[N],st[N],idx=0,ans=N,n; //head陣列用來記錄每一條鏈中的頭節點,ne相當於next指標,value相當於值域 //st陣列用來記錄dfs時是否被訪問過 void add_to_head(int a,int b) { value[idx]=b; ne[idx]=head[a]; head[a]=idx++; } //以u為根的子樹中節點的數量 int dfs(int u) { int sum=0,res=0; //sum表示當前這個子樹的大小,res用來存去掉這個節點後所有連通塊中的最大值 st[u]=1; //用來記錄已經被搜過了 for(int i=head[u];i!=-1;i=ne[i]) { int j=value[i]; if(!st[j]) { int s=dfs(j); //s用來表示當前子樹的大小 res=max(s,res); sum+=s; } } res=max(res,n-sum-1); ans=min(ans,res); return sum+1; } int main() { cin>>n; memset(head,-1,sizeof(head)); for(int i=0;i<n-1;i++) { int a,b; cin>>a>>b; add_to_head(a,b),add_to_head(b,a); } dfs(1); cout<<ans<<endl; }
P5666 [CSP-S2019] 樹的重心
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ano ((i-1)^1)+1
using namespace std;
const int N=5e5;
int T,n,tot,root,son2,nowans;
ll ans;
int head[N],ver[2*N],Next[2*N],siz[N],son[N],ans1[N],ans2[N],ans3[N],ffa[N],d[N],od[N],fa[N];
void add(int x,int y)
{
ver[++tot]=y,Next[tot]=head[x],head[x]=tot;
ver[++tot]=x,Next[tot]=head[y],head[y]=tot;
}
void findroot(int x,int f)
{
siz[x]=1;
for(int i=head[x],y=ver[i];i;i=Next[i],y=ver[i])
if(y!=f)
{
findroot(y,x);
siz[x]+=siz[y];
if(siz[y]>siz[son[x]])
son[x]=y;
}
if(siz[son[x]]*2<=n && (n-siz[x])*2<=n)
root=x;
}
void pre(int x,int f)
{
siz[x]=1,d[x]=d[f]+1,fa[x]=f;
if(f==root)
ffa[x]=x;
else
ffa[x]=ffa[f];
for(int i=head[x],y=ver[i];i;i=Next[i],y=ver[i])
if(y!=f)
{
pre(y,x);
siz[x]+=siz[y];
if(siz[y]>siz[son[x]])
{
if(x==root)
son2=son[x];
son[x]=y;
}
else
if(x==root && siz[y]>siz[son2])
son2=y;
}
}
void get1(int x,int f)
{
if(son[x])
get1(son[x],x);
while(n-2*siz[x]<=nowans && nowans)
{
ans1[nowans]=x;
nowans--;
}
}
void get2(int x,int f)
{
if(x==root)
nowans=n,get2(son2,x);
else
if(son[x])
get2(son[x],x);
while(n-2*siz[x]<=nowans && nowans)
{
ans2[nowans]=x;
nowans--;
}
}
void get3(int r)
{
if(son[r])
get3(son[r]);
for(int i=head[r],y=ver[i];i;i=Next[i],y=ver[i])
if(y!=son[r] && d[y]>d[r])
get3(y);
int now=son[r]?ans3[son[r]]:r;
while(siz[now]*2<siz[r])
now=fa[now];
ans3[r]=now;
}
void clear()
{
memset(head,0,sizeof(head));
memset(Next,0,sizeof(Next));
memset(ver,0,sizeof(ver));
memset(son,0,sizeof(son));
nowans=n,son2=tot=ans=0;
}
bool check1(int x,int y)
{
return x && siz[son[x]]*2<=siz[y] && (siz[y]-siz[x])*2<=siz[y];
}
bool check2(int x,int y)
{
if(x==root)
return siz[son2]*2<=n-siz[y];
return x && siz[son[x]]*2<=n-siz[y] && (n-siz[y]-siz[x])*2<=n-siz[y];
}
bool check3(int x,int y)
{
if(x==root)
return siz[son[x]]*2<=n-siz[y];
return x && siz[son[x]]*2<=n-siz[y] && (n-siz[y]-siz[x])*2<=n-siz[y];
}
signed main(void){
cin>>T;
while(T--){
cin>>n;
clear();
for(register int i=1,x,y;i<n;i++){
cin>>x>>y;
add(x,y);
}
findroot(1,0);
memset(son,0,sizeof(son));
pre(root,0),get1(root,0),get2(root,0),get3(root);
for(register int i=1;i<=tot;i+=2){
int x=ver[i],y=ver[ano];
if(d[x]>d[y])
swap(x,y);
int h1=ans3[y];
ans+=h1;
if(d[fa[h1]]>=d[y]&&check1(fa[h1],y))
ans+=fa[h1];
if(ffa[y]==son[root])
if(siz[son[root]]-siz[y]>=siz[son2])
ans+=root;
else{
ans+=ans2[siz[y]];
if(check2(fa[ans2[siz[y]]],y))
ans+=fa[ans2[siz[y]]];
}
else{
ans+=ans1[siz[y]];
if(check3(fa[ans1[siz[y]]],y))
ans+=fa[ans1[siz[y]]];
}
}
cout<<ans;
puts("");
}
cout<<'\n';
return 0;
}
P4582 [FJOI2014]樹的重心
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define b(a) a.begin()
#define e(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N=200,P=1e4+7;
int n;
vector<int> e[N+7];
int sz[N+7],g[N+7],f[N+7][N+7];
int Dfs1(int u,int fa){
int res=inf;
sz[u]=1,g[u]=0;
for(int&v:e[u])if(v!=fa){
res=min(res,Dfs1(v,u));
sz[u]+=sz[v],g[u]=max(g[u],sz[v]);
}
g[u]=max(g[u],n-sz[u]);
res=min(res,g[u]);
return res;
}
void Dfs2(int u,int fa){
sz[u]=f[u][0]=f[u][1]=1;
for(int&v:e[u])if(v!=fa){
Dfs2(v,u),sz[u]+=sz[v];
for(int i=sz[u];i>=1;i--)
for(int j=1;j<=min(sz[v],i-1);j++)
(f[u][i]+=f[u][i-j]*f[v][j]%P)%=P;
}
}
int F1[N+7][N+7],F2[N+7];
int KonnyWen(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) e[i].clear();
for(int i=1,u,v;i<=n-1;i++){
scanf("%d%d",&u,&v);
e[u].pb(v),e[v].pb(u);
}
int ms=Dfs1(1,0);
vector<int> G;
for(int i=1;i<=n;i++)if(g[i]==ms) G.pb(i);
memset(f,0,sizeof f),Dfs2(G[0],0);
int sm=0,res=0;
if(sz(G)==1){
memset(F1,0,sizeof F1),ms=-inf;
for(int&v:e[G[0]]){
ms=max(ms,sz[v]),sm+=sz[v];
for(int i=sm;i>=1;i--)
for(int j=min(sz[v],i);j>=1;j--){
if(j==i) (F1[i][j]+=f[v][j])%=P;
else for(int k=1;k<=min(i,ms);k++)
(F1[i][max(j,k)]+=F1[i-j][k]*f[v][j]%P)%=P;
}
}
for(int i=1;i<=sm;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
if(j*2<=i) (res+=F1[i][j])%=P;
res++;
} else if(sz(G)==2){
memset(F2,0,sizeof F2),F2[0]=1;
for(int&v:e[G[0]])if(v!=G[1]){
sm+=sz[v];
for(int i=sm;i>=1;i--)
for(int j=1;j<=min(sz[v],i);j++)
(F2[i]+=F2[i-j]*f[v][j]%P)%=P;
}
for(int i=1;i<=sm+1;i++)
(res+=F2[i-1]*f[G[1]][i]%P)%=P;
}
return res;
}
int main(){
int t; scanf("%d",&t);
for(int i=1;i<=t;i++)
printf("Case %d: %d\n",i,KonnyWen());
return 0;
}