這個套路俗稱 dp 套 dp。

大致思路就是把 dp 的轉移路徑用一個自動機模型處理出來。

眾所周知有 KMP、ACM、SAM 套 dp 的套路。而對於一些性質沒有這麼好的問題，就得自己設計一個並不那麼高效的自動機，去規劃 dp 的轉移路徑。

\(\text{遊園會}\)

字符集 \(\Sigma=\{N,O,I\}\)。給定模板串 \(T\)，分別對於每個 \(p=0,1,\cdots,\left|T\right|\)，求出滿足如下條件的字串 \(S\) 數量：

1. 長度為 \(n\)
2. 不存在 \(NOI\) 為它的子串
3. \(\left|LCS(S,T)\right|=p\)（Longest Common Substring）

設計狀態 \(dp_{i,j,u}\) 用來計數。其中這裡的 \(u\) 主要是用於自動機上的轉移，可以看成自動機上的編號，希望把轉移路徑相同的 \(S\) 放到這上面。\(i,j\) 的定義是套路的，\(i\) 代表考慮大小為 \(i\) 的串，\(j\) 用來避免出現 \(NOI\) 子串。

如果列舉第 \(i\) 位的字元 \(S_i\)，由於 LCS 的轉移為

\[lcs_{i,t}=\max(\max(lcs_{i-1,t},lcs_{i-1,t-1}+\left[S_i=T_t\right]),lcs_{i,t-1}) \]

因此自動機結點 \(u\) 上應該維護的資訊是：對於所有 \(t=0,1,\cdots,\left|T\right|\)

，\(lcs_{t}\)（因為這個 \(i\) 是自動機結點的深度，所以把 \(i\) 省略掉了） 是多少。注意到給了 \(S_i\) 後，就可以從深度為 \(i-1\) 的自動機結點 \(u\) 確定唯一的深度為 \(i\) 的自動機結點 \(v\)，計數就是一個直接的累加。

這樣，就完成了一個路徑規劃。

現在來考慮結點數量。注意到一個自動機結點 \(v\) 的 \(lcs\) 陣列的轉移

\[{\color{red} lcs_{v,t}}=\max(\max(lcs_{u,t},lcs_{u,t-1}+\left[S_i=T_t\right]),{\color{red} lcs_{v,t-1}}) \]

因此 \(lcs\)

陣列單調不減。繼續觀察，可以證明，\(0\le lcs_{t}-lcs_{t-1}\le 1\)。因此根據差分陣列，這樣的陣列最多有 \(2^{\left|T\right|}\) 個。因此，自動機每層都只有 \(O(2^{\left|T\right|})\) 個結點。

最後的統計是容易的。總複雜度 \(O(2^{\left|T\right|}n)\)。

\(\square\)