技術標籤：演算法演算法

題目描述：

假設你正在爬樓梯，需要n階才能到達樓頂。每次可以爬1或2階，你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？其中n是一個正整數。

思路和演算法：

利用動態規劃，用f(x)表示爬到第x級臺階的方案數，考慮到最後一步可能跨越了一級臺階，也可能跨越了兩級臺階，所以我們可以列出如下式子：f(x) = f(x-1)+f(x-2)。它意味著爬到第x-1級臺階的方案數和爬到第x-2級臺階的方案數的和。這裡要統計方案總數，我們就需要對這兩項的貢獻求和。

以上就是動態規劃的轉移方程，下面來確定邊界條件，我們是從第0級開始爬的，所以第0級爬到第0級我們可以看作只有一種方案，即f(0) = 1；從第0級到第一級也只有一種方案，即爬一級，f(1) = 1。這兩個作為邊界條件就可以繼續向後推匯出第n級的正確結果。

演算法java實現：

public int climbStairs(int n) {
    if (n==0||n==1){
        return 1;
    }else{
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
    }
}

演算法優化：

由於這裡的f(x)只和f(x-1)與f(x-2)有關，所以我們可以用滾動陣列思想把空間複雜度優化成O(1)。

優化後的java實現：

public int climbStairs(int n){
    int p=0,q=0,r=1;
    for(int i=1;<=n;i++){
        p = q;
        q = r;
        r = p + q;
    }
    return r;
}
 

複雜度分析：

• 時間複雜度：迴圈執行n次，每次花費常數的時間代價，故時間複雜度為O(n)。
• 空間複雜度：只用了常數個變數作為輔助空間，故漸進空間複雜度為O(1)。