技術標籤：# LeetCode HOT 100動態規劃演算法c++資料結構python

1.題目

62. 不同路徑
一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為 “Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為 “Finish” ）。

問總共有多少條不同的路徑？

 

示例 1：


輸入：m = 3, n = 7
輸出：28
示例 2：

輸入：m = 3, n = 2
輸出：3
解釋：
從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 ->
 
 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：

輸入：m = 7, n = 3
輸出：28
示例 4：

輸入：m = 3, n = 3
輸出：6
 

提示：

1 <= m, n <= 100
題目資料保證答案小於等於 2 * 109

2.自我思路及實現

3.總結思路及實現

動態規劃

設f(i,j)代表走到i,j處的所有路徑，那麼機器人或者向下到達i，j，或者向右到達i, j,那麼狀態轉移方程就是：
f (i , j) = f ( i − 1 , j ) + f ( i , j − 1)
上述方程i, j 不等於0

特例

• 當i或 j = 0，時，只有一種路徑可以到達
• f(0,0) = 1

優化：

• 由於結果只與上一行和本行有關，因此可以建立一個一維陣列來儲存結果
• cur[j] = cur[j - 1] + cur[j]
• 未賦值之前右邊的cur[j] 始終表示當前行第i行的上一行第j列的值，賦值之後左邊的cur[j]表示當前行第i行第j列的值，cur[j-1] 表示當前行第i行第j-1列的值(cur[j-1] 在計算cur[j]之前就已經計算了，所以表示的是當前行而不是上一行

時間：mn
空間：min(m ,n)

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m > n)
 

            return uniquePaths(n, m);
            
        int[] cur = new int[n];
        Arrays.fill(cur, 1);
        for(int i = 1; i < m; i++)
        {
            for(int j = 1; j < n; j++)
            {
                cur[j] += cur[j - 1];
            }
        }
        return cur[n - 1];
    }
}

排列組合

無論哪種路徑，總是向下移動m - 1次，向右移動n－１次，那麼問題轉化為
m - 1個a與n - 1個b共有多少種排列方式　
根據排列組合計算，在 m - 1 + n - 1個位置中找m個位置將a放入，其餘位置填上b
C下（m - 1 + n - 1），上（ m - 1）　或（n - 1）

化簡為

為了防止乘法時越界，使用long儲存結果

時間：min(m, n)，與迴圈次數有關，我們總可以選擇m為較小的數
空間：1

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m > n)
            return uniquePaths(n, m);
        long ans = 1;
        for (int x = n, y = 1; y <= m - 1; x++, y++) {
            ans = ans * x / y;
        }
        return (int) ans;
    }
}

4.相關知識