字首和

字首和是一個數組的某項下標之前(包括此項元素)的所有陣列元素的和。

設 $ b [ ] $ 為字首和陣列， $ a [ ] $ 是原陣列，

應用

區間求和

一維區間

求解 $ [ L , R ] $ 區間數字之和。

因為$ L < R $ ,所以

$ ans = S [ R ] - S [ L - 1 ] $ ;

對於m次區間和詢問：常規做法時間複雜度 $ O ( m n ) $ ，即每次查詢都遍歷一邊；字首和做法每次詢問區間和的複雜度為 $ O ( 1 ) $ ，m次詢問便是 $ O ( m ) $ 。

二維區間

求解 $ [ x1 , y1 ] $ ~ $ [ x2 , y2 ] $ 區間數字之和。

$ ans = s [ x2 ] [ y2 ] - s [ x1 - 1 ] [ y2 ] - s [ x2 ] [ y1 - 1 ] + s [ x1 - 1 ] [ y1 - 1 ] $

差分

差分是一個數組相鄰兩元素的差，一般為下標靠後的減去靠前的一個。

設差分陣列為 $ p [] $ ,差分就是將數列中的每一項分別與前一項數做差。

一維差分： $ p [ i ] = a [ i ] - a [ i - 1 ] $

二維差分： $ p [ i ] [ j ] = a [ i ] [ j ] - s [ i - 1 ] [ j ] - s [ i ] [ j - 1 ] + s [ i - 1 ] [ j - 1 ] $

應用

區間加

一維區間加

差分公式/差分標記（適用於一維差分）：

$ [ L , R ] + V $ 等價於 $ d [ L ] + V , d [ R + 1 ] - V $

然後把差分後的陣列進行一次字首和操作即可得到變換後的序列。

時間複雜度： $ O ( n ) + O ( m ) + O ( n ) $ ~ $ O ( n ) $

二維區間加

$ d [ x1 ] [ y1 ] = d [ x1 ] [ y1 ] + p $

$ d [ x1 ] [ y2 + 1 ] = d [ x1 ] [ y2 + 1 ] - p $

$ d [ x2 + 1 ] [ y1 ] = d [ x2 + 1 ] [ y1 ] - p $

$ d [ x2 + 1 ] [ y2 + 1 ] = d [ x2 + 1 ] [ y2 + 1 ] + p $

字首和&&差分の性質

性質1

差分序列求字首和可得到原序列。

字首和序列求差分可得到原序列。

令F(a)表示字首和陣列，G(a)表示差分陣列。

可以說，字首和&&差分是一對互逆過程。

性質2

將原序列區間[L,R]中的元素全部+1，可轉化為差分序列L處+1和R+1處-1。

性質3

按照性質2得到，每次修改原序列一個區間+1，那麼每次差分序列修改處增加的和減少的相同。

補充

時間複雜度

在一秒內：

$ - O ( n ) $ 的演算法可以處理大約 $ 10^7 $ 級別的資料

$ - O ( n \cdot logn ) $ 的演算法可以處理大約 $ 10 ^ 6 $ 級別的資料

$ - O ( n^2 ) $ 的演算法可以處理大約 $ 10^4 $ 級別的資料