引入

先來看個程式碼：

print(1-0.7 == 0.3)

很多人會覺得這一看不就是True嗎，但實際上結果為False。因為1-0.7的結果為0.30000000000000004

浮點數轉二進位制的方法

可以用這個網站驗證答案：https://c.runoob.com/front-end/58/

因為所有的資料本質都是通過二進位制數儲存的，所以要分析這個問題的本質，我們得先去看浮點數的二進位制表示。因為整數和小數的轉換方法不同，所以先將十進位制數的整數部分和小數部分分別轉換後，再加以合併。

（1）整數部分：整數部分比較簡單，因為一個有限的十進位制整數都能轉換成有限的二進位制數。採用除2取餘，逆序連線的方法，程式碼如下：

n = 173
ls = []
while n != 0:
    ls.append(str(n%2))
    n//=2
ls.reverse()
print(''.join(ls))

（2）小數部分：小數部分會麻煩一點了，具體的方法為：

'''
如：0.625=（0.101）bin
0.625*2=1.25======取出整數部分1
0.25*2=0.5========取出整數部分0
0.5*2=1==========取出整數部分1
直到積中的小數部分為零為止，從上倒下連線
'''
import math

n = 0.625
s = ''
while int(n)!= n:
    n*=2
    s+=str(int(n))
    n = math.modf(n)[0]
print(s)

在這裡可以發現，十進位制的小數轉二進位制的時候，很容易就會無限迴圈下去，例如0.2轉換成二進位制就i是0011001100110011001100……，由於計算機儲存的位是有限的，所以必然會造成精度的損失。

IEEE 754 

這裡就不得不提到IEEE 754 了，這東西其實就是一個浮點數的運算標準。因為對於有符號整數來說，儲存的方式其實很簡單，一位表示符號，剩下的位都可以用來表示數值，但浮點數的情況比較複雜。對於float32，也就是32位的浮點數，是這樣表示的：V = (-1)^S*M*2^E

 （1）(-1）^s 表示符號位，當 s=0，V 為正數；當 s=1，V 為負數

 （2）M稱為尾數，1≤ M <2，也就是說，M 可以寫成 1.xxxxxx 的形式，其中 xxxxxx 表示小數部分。

 （3）E表示階碼。例如浮點數5.0,用二進位制表示是101.0，用科學計數法表示為1.01*2^2（注意，因為這裡是二進位制數，所以是乘2的2次方而不是10的二次方）。此時階碼E就是2，尾數M為1.01

對於 32 位的浮點數，最高的 1 位是符號位 s，接著的 8 位是指數 E，剩下的 23 位為有效數字 M。

尾數

因為M 總是寫成 1.xxxxxx *2^E的形式，所以在計算機內部儲存 M 時，預設這個數的第一位總是 1，因此可以被捨去，只儲存後面的 xxxxxx 部分。比如儲存 1.01 的時候，只儲存小數部分的 01，等到讀取的時候，再把第一位的1加上去。這樣做的目的，是節省 1 位有效數字。以32位浮點數為例，留給 M 只有 23 位，將第一位的1捨去以後，等於可以儲存 24 位有效數字。

階碼

上面說到了，階碼是一個八位的二進位制數，並且它是一個無符號數，所以取值範圍是[0,255]。但是科學計數法中的指數並不一定都是正數，例如十進位制0.5轉換為二進位制是0.1,因為1<=M<2,所以要寫成1*2^-1,所以階碼部分，採用移碼來表示。簡單地講，就是階碼的真實值為計算機儲存值減去中間數127，比如，2^10 的 E 是 10，所以儲存成 32 位浮點數時，必須儲存成 10+127=137，即 10001001，這樣階碼的範圍就變成了[-127,128]。階碼這裡又有一些特殊情況：

（1）階碼E全為0，有效數字 M 不再加上第一位的 1，而是還原為 0.xxxxxx 的小數。這樣做是為了表示機器零（計算機中小到機器數的精度達不到的數均視為“機器零”），以及接近於 0 的很小的數字。

（2）階碼E全為1，階碼全為1的情況有兩種，用來表示特殊值，第一種是尾數M也全為1，這時表示正負無窮大（正還是負取決於符號位）。若M不全為1，則表示NaN（Not a Number，非數，這個概念也是IEEE 754定義的），例如0除以0的結果。

 遺留的問題

現在我們就可以解釋為什麼1-0.7的結果是0.30000000000000004了，由於計算機儲存浮點數的位數有限，所以浮點數轉成二進位制表示的時候，必然會造成精度的損失，例如0.3轉換為二進位制表示為：

0.0100110011001100110011001100110011001100110011001101（舍入後的的結果），而把這一串再轉換為十進位制就是0.30000000000000004

但這裡還有一個問題，既然計算機都是二進位制儲存的，那麼1-0.7和0.3應該同時存在舍入，那麼它們倆應該還是相等的，但事實並非如此。而且，使用加減法很容易出問題，但乘除法不會。

print(1-0.9)#0.09999999999999998
print(0.2/2)#0.1

至於是為什麼，暫時還搞不清楚，以後來填坑