一、行列式

1.行列式的定義

​ 行列式貌似是一種運算？與矩陣不同的是，行列式要求行和列的數量必須相同，直接看一個例子來理解好了。

比如下面給出的這個就是二階行列式

​ \({\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)

​ 又比如下面這個給出的是三階行列式

​ \({\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\)

​ 需要注意的是在書寫行列式的時候，對於三階以內的行列式可以使用對角線法，而對於三階以上的行列式則需要我們在理解了行列式的書寫規律以後才能進一步寫出。

2.排列

​ 明確行列式的書寫規律，就需要有關排列的相關知識。一些基本的知識例如，對於 \(n\) 個數的全排列其方法數是 \(n!\) 。同時還需明確：

​ （1）逆序數：對於一個數列 \(\{a_n\}\) ，我們定義當 \(i<j\) 並且 \(a_i>a_j\) 的時候成 \((a_i,a_j)\) 為一個逆序對，而一個排列中所有逆序對的個數被稱為逆序數。

​ （2）偶排列：一個排列的逆序數為偶數

​ （3）奇排列：一個排列的逆序數為奇數

​ 明確了上述概念以後於是就有了行列式中的定理一：一個排列中任意兩個數交換位置，排列的奇偶性發生改變。下面給出證明方法：

​ 首先我們知道，任意交換相鄰的兩個數 \(a_i\) 與 \(a_{i+1}\) ，排列的奇偶性一定發生改變。理由是這一次相鄰的交換隻 對 \(a_i\) 與 \(a_{i+1}\) 之間的逆序數產生影響，並不影響 \(a_i\) 以前的逆序數以及 \(a_{i+1}\) 以後的逆序數。

​ 於是我們可以將交換 \(a_i\) 與 \(a_j\) 的操作轉化為許多次交換相鄰元素的操作，具體實現如下。

​ 將 $$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot a_i,a_1,a_2,a_3,...,a_s,a_j \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot $$

​ 變化為 $$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot a_1,a_2,a_3,...,a_s,a_i,a_j \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot $$ 需要交換 \(s\) 次

​ 再變化為 $$\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot a_j,a_1,a_2,a_3,...,a_s,a_i \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot $$ 需要交換 \(s+1\) 次

​ 所以我們一共進行了 \(2s+1\) 次交換，而每次變化一定會使逆序數 \(+1\) 或 \(-1\) 所以進行了奇數詞變化逆序數的奇 偶性一定會發生變化。

​ 進而我們可以發現行列式展開中行的下標為自然序數，列的下標排列的逆序數若為奇數，則其前面的係數為負。反之，則其前面的係數為正。

​ 而我們發現行列式的展開或者說行列式這種運算其實就是對行列式中的各項加個正負號求和起來，所以我們可以嘗試寫出通項公式：

​ $$D=\sum_{j_1,j_2,...,j_n} (-1)^{t}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}$$
其中， \(t\) 為 \(j_1,j_2,...,j_n\) 排列的逆序數

​ 但這個時候我們還要思考，我們真正在寫的時候能否行的下標也不按順序來寫呢，換句話說有沒有更通項的公式。那顯然是有的，我們注意到如果對於 \(i_1,i_2,...,i_n\) 與 \(j_1,j_2,...,j_n\) 兩個排列，分別表示行列式求和中的某一項的行的下標和列的下標的排列，則有 $$D=\sum_{(i_1,i_2,..,i_n)(j_1,j_2,...,j_n)}(-1)^{k+l}a_{i_1 j_1}a_{i_2 j_2}...a_{i_n j_n}$$
其中， \(k\) 為 \(i_1,i_2,..,i_n\) 排列的逆序數，\(l\) 為 \(j_1,j_2,...,j_n\) 的逆序數。

​ 如何證明這個通項是正確的？我們可以考慮將無序的行下標轉化為自然序數，則我們在每次交換一個 \(a_{i_n j_n}\) 與一個 \(a_{i_m j_m}\) 項時，\(i_n\) 與 \(i_m\) 會發生 \(2s+1\) 次交換，而 \(j_n\) 與 \(j_m\) 也會發生 \(2s+1\) 次交換，所以可以證明這樣交換一項後逆序數的奇偶性不會發生改變，所以上述兩個式子是成立的。