【瞎口胡】半平面交

阿新 • • 發佈：2022-12-08

顧名思義，用於求解若干半平面的交。

在 OI 中，一般有如下的應用情形：給定若干條直線，求它們的左邊組成的半平面的交。

事實上，我們可以通過一組點集來描述半平面交：這是因為如果半平面交的面積有限，那麼它一定是凸多邊形。證明可以考慮找到多邊形中一個大於 $180$ 度的角，然後很容易發現這是不符合條件的。

流程

考慮構造半平面交。我們將所有直線極角排序，然後依次加入。我們維護一個雙端隊列表示當前構成半平面交的直線。

一般來講，加入一條直線，我們無事發生：

它會和之前的直線（黑色）一起構成當前的半平面交。

但意外總會發生。

如圖，當前隊尾的兩條直線的交點在紅色直線的右側。此時我們可以斷定，隊尾的直線對構成半平面交沒有貢獻，因為紅色的限制嚴格強於它。因此，我們 Pop 掉隊尾的直線。

不止隊尾，隊首的直線可能也會被 Pop 掉。

只需要判定隊首兩條直線的交點是否在紅色直線右側。

另外，加完所有直線後，還應該依次判定隊尾兩條直線的交點是否在隊首直線的左側，如果是，則 Pop 隊尾。原因很簡單，加入直線時，前面的直線受後面直線約束，但後面的直線不受前面直線的約束。但它們連成的是一個環，因此隊尾的直線是要受到隊首直線約束的。

注意事項

我們操作時應該先 Pop 隊尾再 Pop 隊首，原因見 OI-Wiki。

如果有多個共線的直線，我們應該直接最左側的。實現細節見程式碼。

# include <bits/stdc++.h>
# define Vector Point
# define DB double
# define CP const Point
# define CV const Vector
const int N=100010,INF=0x3f3f3f3f;
const DB eps=1e-8;
const DB Pi=acos(-1);
struct Point{
	DB x,y;
	Point(DB X=0,DB Y=0){
		x=X,y=Y;
		return;
	}
};
struct dLine{
	Point s,t;
	double an;
};
dLine que[N];
typedef std::vector <Point> Poly;
inline int read(void){
	int res,f=1;
	char c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')
		if(c=='-')f=-1;
	res=c-48;
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
		res=res*10+c-48;
	return res*f;
}
inline int Sign(DB x){
	return (x<-eps)?-1:((x>eps)?1:0);
}
inline bool x_comp(CP &a,CP &b){
	return (Sign(a.x-b.x))?(a.x<b.x):(a.y<b.y);
}
inline DB Fabs(DB x){
	return x*Sign(x);
}
inline DB Dot(CV &u,CV &v){
	return u.x*v.x+u.y*v.y;
}
inline DB Cro(CV &u,CV &v){
	return u.x*v.y-u.y*v.x;
}
inline DB Len(CV &u){
	return sqrt(Dot(u,u));
}
Vector operator - (CV &u,CV &v){
	return Vector(u.x-v.x,u.y-v.y);
}
Vector operator + (CV &u,CV &v){
	return Vector(u.x+v.x,u.y+v.y);
}
Vector operator * (CV &u,DB k){
	return Vector(u.x*k,u.y*k);
}
bool operator == (CP &u,CP &v){
	return !(Sign(u.x-v.x)||Sign(u.y-v.y)); 
} 
inline Point PointTurn(CP &u,DB theta){
	return Point(u.x*cos(theta)+u.y*sin(theta),-u.x*sin(theta)+u.y*cos(theta));
}
inline Point PointTurn(CP &u,DB theta,CP &c){
	return Point((u.x-c.x)*cos(theta)+(u.y-c.y)*sin(theta)+c.x,-(u.x-c.x)*sin(theta)+(u.y-c.y)*cos(theta)+c.y);
}
inline bool PointonSeg(CP &u,CP &a,CP &b){
	return !Sign(Cro(u-a,u-b))&&(Dot(u-a,u-b)<=0);
}
inline bool DistoSeg(CP &u,CP &a,CP &b){
	if(a==b)
		return Len(u-a);
	Vector au=u-a,bu=u-b,ab=b-a;
	if(Sign(Dot(au,ab))<0)
		return Len(au);
	if(Sign(Dot(bu,ab))>0)
		return Len(bu);
	return Fabs(Cro(au,ab)/Len(ab));
}
inline bool PointonLine(CP &u,CP &a,CP &b){
	return !Sign(Cro(u-a,u-b));
}
inline Point FootPoint(CP &u,CP &a,CP &b){
	Vector au=u-a,bu=u-b,ab=b-a;
	DB aulen=Dot(au,ab)/Len(ab),bulen=-1.0*Dot(bu,ab)/Len(ab);
	return a+ab*(aulen/(aulen+bulen));
}
inline Point SymPoint(CP &u,CP &a,CP &b){
	return u+(FootPoint(u,a,b)-u)*2;
}
inline Point CrossLL(CP &a,CP &b,CP &c,CP &d){
	Vector ab=b-a,cd=d-c,ca=a-c;
//	printf("%.8lf\n",Cro(ab,cd));
//	if(Sign(Cro(ab,cd))==0)
//		printf("warning\n");
	return a+ab*(Cro(cd,ca)/Cro(ab,cd));
}
inline bool CrossLS(CP &a,CP &b,CP &c,CP &d){
	return (PointonLine(CrossLL(a,b,c,d),c,d));
}
inline bool CrossSS(CP &a,CP &b,CP &c,CP &d){
	DB ab_c=Cro(b-a,c-a),ab_d=Cro(b-a,d-a);
	DB cd_a=Cro(d-c,a-c),cd_b=Cro(d-c,b-c);
	return (Sign(ab_c)*Sign(ab_d)<0)&&(Sign(cd_a)*Sign(cd_b)<0);
}
inline DB PolyArea(Poly &P){
    if(P.size()<=2) return 0;
	DB res=0;
	for(int i=0;i<(int)P.size();++i){
		res+=Cro(P[i],P[(i+1)%P.size()]);
	}
	return res/2.0;
}
inline void ConvexHull(Poly &P,Poly &ans){
	int n=P.size();
	std::sort(P.begin(),P.end(),x_comp);
	ans.resize(0);
	int siz=0;
	for(int i=0;i<n;++i){
		while(siz>1&&Sign(Cro(ans[siz-1]-ans[siz-2],P[i]-ans[siz-2]))<=0)
			--siz,ans.pop_back();
		ans.push_back(P[i]),++siz;
	}
	for(int i=n-1,st=siz;i>=0;--i){
		while(siz>st&&Sign(Cro(ans[siz-1]-ans[siz-2],P[i]-ans[siz-2]))<=0)
			--siz,ans.pop_back();
		ans.push_back(P[i]),++siz;
	}
	ans.pop_back();
	return;
}
inline DB PolyDiameter(Poly &P){
	int n=P.size();
	if(P.size()<2)
		return 0;
	if(P.size()==2)
		return Len(P[0]-P[1]);
	int now=2;
	DB res=0;
	P.push_back(P[0]);
	for(int i=0;i<n;++i){
		while(Sign(Cro(P[i+1]-P[i],P[now]-P[i])-Cro(P[i+1]-P[i],P[now+1]-P[i]))<0)
			now=(now+1)%n;
		res=std::max(res,std::max(Len(P[now]-P[i]),Len(P[i+1]-P[i])));
	}
	P.pop_back();
	return res;
}
inline bool DvecComp(const dLine &u,const dLine &v){
	if(Sign(u.an-v.an)){
		return Sign(u.an-v.an)==-1;
	}
	return Sign(Cro(u.t-u.s,v.t-u.s))==1; // 如果 v 在 u 的左邊，則叉積>0，u 排在 v 之前
}
inline bool AngleCheck(const dLine &u,const dLine &v,const dLine &z){ // check if uv at the right of z
	Point cro=CrossLL(u.s,u.t,v.s,v.t);
	return Sign(Cro(cro-z.s,z.t-z.s))==1;
}
inline Poly HalfPlane(std::vector <dLine> &Lines){
	int siz=Lines.size();
	for(int i=0;i<siz;++i){
		Lines[i].an=atan2(Lines[i].t.y-Lines[i].s.y,Lines[i].t.x-Lines[i].s.x);
	}
	std::sort(Lines.begin(),Lines.end(),DvecComp); // 極角排序
	Poly ans;
	int l=1,r=0;
	for(int i=0;i<siz;++i){
		while(l<r&&AngleCheck(que[r-1],que[r],Lines[i]))
			--r;
		while(l<r&&AngleCheck(que[l],que[l+1],Lines[i]))
			++l;
		que[++r]=Lines[i];
		if(l<r&&!Sign(Cro(que[r].t-que[r].s,que[r-1].t-que[r-1].s))) // 平行時，一定是後面的直線更靠左
			--r,que[r]=Lines[i]; // 將原來的直線更換為自己，佇列長度 --
	}
	while(l<r&&AngleCheck(que[r-1],que[r],que[l])) // 檢查隊尾
		--r;
	for(int i=l;i<r;++i)
		ans.push_back(CrossLL(que[i].s,que[i].t,que[i+1].s,que[i+1].t));
	ans.push_back(CrossLL(que[r].s,que[r].t,que[l].s,que[l].t));
	return ans;
}
int main(void){
	std::vector <dLine> S;
	Poly P;
	int T=read(),n;
	while(T--){
		n=read();
		P.clear();
		for(int i=1;i<=n;++i){
			int x=read(),y=read();
			P.push_back((Point){1.0*x,1.0*y});
		}
		for(int i=0;i<(int)P.size();++i){
			S.push_back((dLine){P[i],P[(i+1)%P.size()],0.0});
		}
	}
	Poly res=HalfPlane(S);
	printf("%.3lf",PolyArea(res));
	return 0;
}