回溯法

回溯法是最常用的解題方法，有“通用的解題法”之稱。當要解決的問題有若干可行解時，則可以在包含問題所有解的空間樹中，按深度優先的策略，從根節點出發搜尋解空間樹。演算法搜尋至解空間樹的任一結點時，總是先判斷該結點是否肯定不包含問題的解。如果肯定不包含，則跳過對以該結點為根的子樹的搜尋，繼續查詢該結點的兄弟結點，若它的兄弟結點都不包含問題的解，則返回其父結點——這個步驟稱為回溯。否則進入一個可能包含解的子樹，繼續按深度優先的策略進行搜尋。這種以深度優先的方式搜尋問題的解的演算法稱為回溯法。它本質上是一種窮舉法，但由於在搜尋過程中不斷略過某些顯然不合適的子樹，所以搜尋的空間大大少於一般的窮舉，故它適用於解一些組合數較大的問題。

總結一下:

一、基本定義

回溯法（back track method）是在包含問題的所有可能解的解空間樹中，從根結點出發，按照深度優先的策略進行搜尋，對於解空間樹的某個結點，若滿足約束條件，則進入該子樹繼續搜尋，否則將以該結點為根結點的子樹進行剪枝。

二、適用範圍

可避免搜尋所有的可能解，適用於求解組合數較大的問題。

三、n皇后問題

問題：在n x n的棋盤上擺放n個皇后，而且n個皇后中的任意兩個是不能處於同一行、同一列、或同一斜線上。

用陣列x[i]（1≤i≤n）表示n後問題的解。其中x[i]表示皇后i放在棋盤的第i行的第x[i]列。由於不允許將2個皇后放在同一列，所以解向量中的x[i]互不相同。2個皇后不能放在同一斜線上是問題的隱約束。對於一般的n後問題，這一隱約束條件可以化成顯約束形式。設2個皇后放置位置為(i,j),(k,l)：

顯然，棋盤的每一行上可以而且必須擺放一個皇后，所以，n皇后問題的可能解用一個n元向量X=(x1, x2, …, xn)表示，其中，1≤i≤n並且1≤xi≤n，即第i個皇后放在第i行第xi列上

由於兩個皇后不能位於同一列上，所以，解向量X必須滿足約束條件：

​ xi≠xj （式1）

若兩個皇后擺放的位置分別是(i, xi)和(j, xj)，在棋盤上斜率為-1的斜線上，滿足條件i－j= xi－xj，在棋盤上斜率為1的斜線上，滿足條件i＋j= xi＋xj，綜合兩種情況，由於兩個皇后不能位於同一斜線

​ |i－xi|≠|j－xj| （式2）

為了簡化問題，下面討論四皇后問題:

四皇后問題的解空間樹是一個完全4叉樹，樹的根結點表示搜尋的初始狀態，對應Backtrack(1,x);從根結點到第2層結點對應皇后1在棋盤中第1行的可能擺放位置，從第2層結點到第3層結點對應皇后2在棋盤中第2行的可能擺放位置，依此類推。

完全4叉樹，我只畫了一部分，完整的應該是除了葉結點，每個內部結點都有四個子結點，k表示層數：

剪枝之後：

回溯法求解4皇后問題的搜尋過程：

當然這個圖只表示到找到的第一個解，我們知道還有另外一個解。

程式碼

變數sum記錄可行方案個數，初始為0；

n表示皇后個數，由使用者輸入；

x[]陣列儲存問題的解，表示皇后i放在棋盤的第i行第x[i]列,初始時各元素都為0，而我們目的是求出有多少組（x[1],x[2],x[3]……x[n]）滿足擺放條件；

output(int x[])函式作用是輸出當前找到的一個可行解，只在搜尋到葉節點時才會呼叫；

Place(int k,int x[])函式作用是，對當前行k以上的所有行（即1到k-1行）逐行進行檢查，如果該行與上面任何一行相互攻擊（即位於同一對角線上了或同列了：abs(i-k)abs(x[i]-x[k]) || x[i]x[k]），那麼返回false，否則返回true；

Backtrack(int k,int x[])函式表示搜尋解空間中第k層子樹，k>n時，演算法搜尋至葉節點，得到一個新的n皇后互不攻擊放置方案，那麼輸出該方案，可行方案數sum加1；k<=n時，當前擴充套件節點是解空間的內部節點，該節點有x[1],x[2],x[3]……x[n]共n個子節點，對每一個子節點，用函式Place檢查其可行性，如果可行，以深度優先的方式遞迴地對可行子樹搜尋，如果不可行剪枝。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
// 記錄可行方案個數
int sum=0;
// 表示皇后個數，由使用者輸入
int n;
// 輸出當前找到的一個可行解，只在搜尋到葉節點時才會呼叫
int output(int  x[]){
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++){
      cout << "(" << i << "," << x[i] << ")" << " ";                                   
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

// 對當前行k以上的所有行（即1到k-1行）逐行進行檢查
bool Place(int k,int  x[]){
     int i;
     for(i=1;i<k;i++){
     if(abs(i-k)==abs(x[i]-x[k]) || x[i]==x[k])
         return false;                     
     } 
     return true;
     
}
     
     
// 見上文詳解     
int Backtrack(int k,int  x[]){
    int i;
     if(k>n){//如果是葉節點，直接輸出找到的一個解 
          output(x);
          sum++; 
     }
     else{//內部節點，如果滿足約束條件，繼續深度搜索 。i代表列數，從1到n 
         for(i=1;i<=n;i++){
               x[k]=i;
               if(Place(k,x))
               Backtrack(k+1,x);
         } 
     }
     
     
}

int main(){
    int *x,i;
    
    cout << "輸入皇后個數:" << endl;
    cin >> n;
    cout << endl;
    
    // 陣列儲存問題的解,表示皇后i放在棋盤的第i行第x[i]列
    x=new int[n+1];
    // 初始時各元素都為0
    for(i=0;i<=n;i++){
      x[i]=0;                
    }
    
    Backtrack(1,x);
    
    cout << endl;
    cout << "解的個數：" << sum << endl;
    
    system("pause"); 
    return 0;
}

執行結果