問題描述

有n個囚犯站成一個圓圈，準備處決。首先從一個人開始報數,報到m的人被處死,剩下n-1個人繼續這個過程,直到最終只剩下一個人留下。問題是：給定了n和m，一開始要站在什麼位置才能避免被處決？

#include<iostream>
 
using namespace std;
 
/************約瑟夫問題****************/
 
typedef struct CLinkList
{
    int data;
    struct CLinkList *next;
}node;
 
 
 
int main()
{
///建立迴圈連結串列
    node *L,*r,*s;
    L = new node;
    r =L;
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    for(i = 1;i<=n;i++)       //尾插法建立連結串列
    {
        s = new node;
        s->data = i;
        r->next = s;
        r= s;
    }
    r->next =L->next;       //讓最後一個結點指向第一個有資料結點
    node *p;
    p 
 
= L->next;
    delete L;   //刪除第一個空的結點
 
///模擬解決約瑟夫問題
    while(p->next != p)                            //判斷條件：因為最後肯定剩下一個人， 迴圈連結串列的最後一個數據的next還是他本身
    {
        for(i = 1;i<k-1;i++)
        {
            p = p->next;                         //每k個數死一個人
        }
        cout<<p->next->data<<"
 
->";
        p->next = p->next->next;                   //將該節點從連結串列上刪除。
        p = p->next;
    }
    cout<<p->data<<endl;
    return 0;
}

為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第一個出列的人編號一定是 m%n -1。那麼剩下的n-1個人便可以看做組成了一個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2並且從k開始報0。

現在我們把n-1個人的時候的編號做一下轉換（全部減去k）：
　　k --> 0
　　k+1 --> 1
　　k+2 --> 2
　　...
　　...
　　k-2 --> n-2

　 變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題！（這不是讓我們倒推嗎？!）

　　假如我們知道這個子問題的解：例如A[n-1]是在n-1個人中的最終勝利者，那麼根據上面對A[n-1]進行轉換 便剛好就是n個人情況的解。變回去的公式很簡單，如下：

　　A[n]=(A[n-1] +k)%n。（k是在n個人中第一個出列的人的編號，此處這個公式涉及了上面敘述到的編號的轉換，需要搞懂了才能理解）

　　由於k=m%n，那麼公式也可以寫為A[n]=(A[n-1] +m)%n。為什麼呢？很容易理解，7%3=1 , 1%3=1。


　　如此也是得出了遞推公式：

　　A[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是A[n]

　　A[1]=0;

　　A[2]=(A[1]+m)%2;
　　A[i]=(A[i-1]+m)%i; (i>1)

　　有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出A[i]的數值，最後結果是A[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出A[n]+1
　　由於是逐級遞推，不需要儲存每個A[i]，於是便得到了最終的程式：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int winner=0;//總人數n，數到m的倍數離開，最後的人winner
    for(int i=2;i<=n;i++)
        winner=(winner+m)%i;
    cout<<"Winner:"<<winner+1<<endl;
}