參考文獻：

換個角度舉例解決約瑟夫環

約瑟夫環——公式法（遞推公式）

在刷leetcode的劍指offer時，做到這道關於約瑟夫環的題，首先自己是一臉懵逼的。這是啥玩意，看不懂啊。後來i仔細思考之後，想到用佇列來解這道題，根據佇列先進先出的特性這樣就能迴圈解決這個問題。嗯，完美。說幹就幹。。。

但是出現了一個尷尬的問題----現在我還不太會用佇列。於是只能看看大佬的題解了，裡面有用連結串列的有用佇列的，看的我腦瓜子嗡嗡的，WTF.。但是，突然看到一個數學解法。一看，哎呦，不錯哦。簡單明瞭。但是，又但是了。因為確實看了很多遍，直到寫這篇部落格的時候還是有點迷糊。所以就打算記錄一下這些點，以後再遇見能夠好好研究研究。如果各位有什麼好的見解以及本文存在的不足之處。歡迎各位指正批評。話不多說，看看關於大佬的思路。

主要是看了這兩篇文章：首先是這一篇：

約瑟夫環——公式法（遞推公式）

這篇我覺得講的很好，至少我這個小白算是看懂了，

文中首先提到了什麼是約瑟夫問題：然後給出了兩種解決方案：

• 普通解法：運用連結串列。
• 公式法：

公式法：

約瑟夫環是一個經典的數學問題，我們不難發現這樣的依次報數，似乎有規律可循。為了方便匯出遞推式，我們重新定義一下題目。
問題：N個人編號為1，2，……，N，依次報數，每報到M時，殺掉那個人，求最後勝利者的編號。

這邊我們先把結論丟擲了。之後帶領大家一步一步的理解這個公式是什麼來的。
遞推公式：

用不同數字表示每個人：

　　　　　　　　　　　　1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11

表示11個人。排成一排假設每報道3的人被殺掉。

• 剛開始時，頭一個人編號是1，從他開始報數，第一輪被殺掉的是編號3的人。
• 編號4的人從1開始重新報數，這時候我們可以認為編號4這個人是隊伍的頭。第二輪被殺掉的是編號6的人。
• 編號7的人開始重新報數，這時候我們可以認為編號7這個人是隊伍的頭。第三輪被殺掉的是編號9的人。
• ……
• 第九輪時，編號2的人開始重新報數，這時候我們可以認為編號2這個人是隊伍的頭。這輪被殺掉的是編號8的人。
• 下一個人還是編號為2的人，他從1開始報數，不幸的是他在這輪被殺掉了。
• 最後的勝利者是編號為7的人。

下圖表示這一過程（先忽視綠色的一行）

圖中綠色部分表示的是這些陣列成的數的下標：

上邊得到的公式描述的是：倖存者在這一輪的下標位置

• f(1,3)：只有1個人了，那個人就是獲勝者，他的下標位置是0
• f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2個人的時候，勝利者的下標位置為1
• f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3個人的時候，勝利者的下標位置為1
• f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4個人的時候，勝利者的下標位置為0
• ……
• f(11,3)=6
  

上面這個例子驗證了這個遞推公式的確可以計算出勝利者的下標，下面講解怎麼推到這個公式。

**問題1：**假設我們已經知道11個人時，勝利者的下標位置為6。那下一輪10個人時，勝利者的下標位置為多少？
**答：**其實吧，第一輪刪掉編號為3的人後，之後的人都往前面移動了3位，勝利這也往前移動了3位，所以他的下標位置由6變成3。

**問題2：**假設我們已經知道10個人時，勝利者的下標位置為3。那下一輪11個人時，勝利者的下標位置為多少？
**答：**這可以看錯是上一個問題的逆過程，大家都往後移動3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3。不過有可能陣列會越界，所以最後模上當前人數的個數，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11

關於越界的解釋如圖中所示；圖中講的就是如何消除陣列越界的問題。相信大家都看得懂：

因此我們可以推出遞推公式f(8,3) = [f(7, 3) + 3] %8。
進行推廣泛化，即f(n,m) = [f(n-1, m) + m]%m。

**注：**理解這個遞推式的核心在於關注勝利者的下標位置是怎麼變的。每殺掉一個人，其實就是把這個陣列向前移動了M位。然後逆過來，就可以得到這個遞推式。

文中最後說求出的結果是陣列的下標，最終編號還要加1.但是我用C語言編寫的結果不用加1直接返回結果也可以。

1 int lastRemaining(int n, int m){
2     int pos=0;
3     for(int i=2;i<=n;i++)
4     {
5         pos=(pos+m)%i;
6     }
7     return pos;
8 }