事件

單位事件 事件空間 隨機事件

每個不能再被劃分的事件 —— 單位事件 —— 用 \(E\) 表示

可能發生的所有單位事件的集合 —— 事件空間 —— 用 \(S\) 表示

事件空間的子集 —— 隨機事件 —— 用大寫字母 \(A~B~C...\) 表示

事件的計算

和事件 ：相當於 並集 。只需其中之一發生，就發生了。

積事件 ：相當於 交集 。必須要全都發生，才計算概率。

概率

定義

古典定義

如果一個實驗滿足：實驗只有有限個基本結果，每個結果出現可能性一樣。對於 \(A\) 事件，他發生的概率 \(P(A)=\frac{m}{n}\) ，\(n\) 表示可能出現的基本結果的總數目， \(m\)

統計定義

如果在一定條件下，進行了 \(n\) 次試驗，事件 \(A\) 發生了 \(N_A\) 次，如果隨著 \(n\) 逐漸增大，頻率 \(\frac{N_A}{n}\) 逐漸穩定在某一數值 \(p\) 附近，那麼數值 \(p\) 稱為事件 \(A\) 在該條件下發生的概率，記做 \(P(A) = p\)

公理化定義

設 \(E\) 是隨機試驗，\(S\) 是它的樣本空間。對 \(E\) 的每一個事件 \(A\) 賦予一個實數，記為 \(P(A)\)，稱為事件 \(A\) 的概率，這裡 \(P(A)\) 是一個集合函式，\(P(A)\) 滿足下列條件：

• 非負性 ：對於一個事件 \(A\)，有概率 \(P(A)\in [0,1]\)
• 規範性 ：事件空間的概率值為 \(1\) ， \(P(S)=1\)
• 容斥性 ：若 \(P(A+B)=P(A)+P(B)\)，則 \(A\) 和 \(B\) 互為獨立事件

貌似沒什麼用（霧

計算

• 廣義加法公式 ： 對任意兩個事件 \(A\),\(B\) ，\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
• 條件概率 ： 記 \(P(B\mid A)\) 表示在 \(A\) 事件發生的前提下，\(B\) 事件發生的概率，則 \(\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)
  ，其中 \(P(AB)\) 為事件 \(A\) 和事件 \(B\) 同時發生的概率
• 乘法公式 ： \(P(AB)=P(A)·P(B\mid A)=P(B)·P(A\mid B)\)
• 全概率公式 ： 若事件 \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) 構成一個完備的事件且都有正概率，即 \(\forall i,j,A_i\cap A_j=\varnothing\) 且 \(\displaystyle \sum^n_{i=1}A_i=1\)，有 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B\mid A_i)\)
• 貝葉斯定理 ： \(\displaystyle P(B_i\mid A)=\frac {P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum\limits_{j=1}^nP(B_j)(P(A\mid B_j))}\)

期望

定義

在一定區間內變數取值為有限個，或數值可以一一列舉出來的變數稱為離散型隨機變數。一個離散性隨機變數的數學期望是試驗中每次可能的結果乘以其結果概率的總和

說白了就是 \(\displaystyle E=\sum^{結果數}_{i=1}事件i的概率\times事件i的結果\)

性質

• 全期望公式 ：\(E(Y)=E[E(Y\mid X)]\) ，可由全概率公式證明。
• 線性性質 1 : 對於任意兩個隨機變數 \(X,Y\)（ 不要求相互獨立 ），有 \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) 。利用這個性質，可以將一個變數拆分成若干個互相獨立的變數，分別求這些變數的期望值，最後相加得到所求變數的值
• 線性性質 2 : 當兩個隨機變數 \(X,Y\) 相互獨立時，有 \(E(XY)=E(X)E(Y)\)
• 除非