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一些定義

事件發生的概率

• 在一個特定的環境下，\(A\)、\(B\)等代表可能發生的所有單個事件，\(S\)代表所有可能發生的單個事件的集合。所以有\(A \in S , B \in S\)。

• 如果有一個集合\(C\)，滿足\(C \cap S = \emptyset\)，我們就說\(C\)是不可能事件。如果有一個集合\(D\)，滿足\(D=S\)，就說\(D\)是必然事件。因為不管\(S\)中的事件發生多少次，\(C\)都不可能發生，\(D\)都一定發生。

事件的和積事件

• 事件\(A \cup B\)稱為事件\(A\)和事件\(B\)的和事件，如果\(A\)

  和\(B\)至少任意發生一個，我們就說事件\(A \cup B\)發生。(也可記作\(A + B\))

• 事件\(A \cap B\)成為事件\(A\)和事件\(B\)的積事件，如果\(A\)和\(B\)至少同時發生一個，我們就說事件\(A \cap B\)發生。(也可記作\(A \times B\))

• 當有多個事件的時候我們可以用\(\bigcup_{k=1}^{n}A_k\)和\(\bigcap_{k=1}^{n}A_k\)

互斥和互補

• 如果\(A \cap B = \emptyset\)，稱事件\(A\)和事件\(B\)互質，指\(A\)和\(B\)不能同時發生。
• 如果\(A \cup B =S\)
  ，且\(A \cap B = \emptyset\)，稱事件\(A\)和事件\(B\)互為對立事件(補集)。

頻率和概率

• 頻率：在相同的條件下，進行了\(n\)次實驗，在\(n\)次實驗中，事件A發生了\(N_A/n\)次，那麼\(N_A/n\)稱為事件\(A\)發生的頻率(\(n\)是頻數)
• 我們可以發現，當\(n=\infty\)，對於相同事件，頻率無限接近概率

概率的性質

我們設事件\(A\)發生的概率是\(P(A)\)。那麼有：

顯然的性質

1. 非負性：對於任意事件\(A\)，都有\(0 \le P(A) \le 1\)
2. 規範性：對於每個必然事件\(A\)，\(P(A)=1\)；每個不可能事件\(A\)
   ，\(P(A)=0\)
3. 互斥性：對於任意兩個事件\(A\)和\(B\)，\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
4. 互斥事件的可加性：如果事件\(A\)和\(B\)是互斥的，那麼\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
5. 對立事件的概率之和\(=1\)
6. 獨立事件的可乘性：如果事件\(A\)和\(B\)之間是相互不干擾的，我們就說\(A\)和\(B\)是相互獨立的事件，那麼就有\(P(A \cap B)=P(A) \times P(B)\)

不顯然的性質

7. 伯努利大數定理：如果在一次實驗中，某事件發生的概率是\(p\)，不發生的概率是\(q\)，則在\(n\)次試驗中至少發生\(m\)次的概率等於\((p+q)^n\)的 展開式 中從\(p^n\)到包括\(p^mq^{n−m}\)為止的各項之和。 如果在一次實驗中，某事件發生的概率為\(p\)，那麼在\(n\)次獨立重複的試驗中這個事件恰好發生\(k\)次\(0 \le k \le n\)的概率是\(P_n(k)=C^n_k \times p^k \times (1−p)^{n−k}\)

例題

yty找檔案

yty有一張書桌，有8個抽屜，分別用數字1~8編號。每次拿到一個檔案後，他都會把這份檔案隨機地放在某一個抽屜中。但是，可憐的yty非常粗心，有\(\frac{1}{5}\)的概率會忘了把這個檔案放進抽屜，最終因為沒有放進抽屜而把檔案弄丟。現在，yty要找一個檔案，他按照編號順序依次開啟每一個抽屜，直到找到這份檔案為止，或者最終發現檔案已經丟失。

請回答下列問題：

1. 如果yty打開了第一個抽屜，但是沒有發現他要的檔案，請問這份檔案在其餘7個抽屜的概率是多少？
2. 如果yty打開了前4個抽屜，裡面沒有發現他要的檔案，請問這份檔案在其餘4個抽屜裡的概率是多少？
3. 如果yty打開了前7個抽屜，裡面沒有他要的檔案，請問這份檔案在最後一個抽屜裡的概率是多少？

題解

我們可以假設yty有10個櫃子，不過後兩個櫃子是扔進去就扔不出來的(即弄丟了)，然後就可以進行愉快的概率計算啦。

假設yty打開了前\(i\)個抽屜，裡面沒有發現他想要的檔案，那麼這份檔案在其餘\(8-i\)個抽屜的概率是\(\frac{8-i}{10-i}\)

古典概率

• 古典概率也叫事前概率，也就是在事情發生之前我們就可以推算出來任何事件發生的概率。概率用的最早的就是一些概率遊戲和賭博中。

特點

1. 樣本容量有限
2. 事件可能性相同
3. 事件互斥

計算公式

在計算古典概率的時候，如果在全部可能出現的基本事實範圍內構成事件\(A\)的基本事件有\(a_n\)個，不構成事件\(A\)的基本事件有\(b_n\)個，那麼出現事件\(A\)的概率是\(P(A)=a/(a+b)\)

數學期望

數學期望可以理解為某件事情大量發生之後的平均結果(這個事件的概率會受到一些因素的干擾)，可以這樣分辨：概率針對機率，期望針對最終結果。

計算公式

在計算時不能簡單的使用古典概率的計算方法，不能只考慮樣本容量，還得考慮樣本中每個事件出現的概率，假設我們規定\(x_1,x_2,x_3,...,x_n\)是隨機輸出值，這些隨機輸出值對應的概率就是\(p_1,p_2,p_3,...,p_n\)(\(\sum_{i=1}^{n}p_i=1\))，數學期望的公式是\(E(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i \times x_i\)

擴充套件公式

1. 期望的“線性”性。\(E(aX)+E(bY)=aE(X)+bE(Y)\)

2. 全概率公式。假設\(\{B_n|n=1,2,3,...,n\}\)是一個概率空間的有限或者可數無限的分割，且每個集合\(B_n\)是一個可測集合，則對任意事件\(A\)有全概率公式\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A|B_n)P(B_n)\)。其中\(P(A|B)\)是\(B\)發生後\(A\)的條件概率。

3. 引申：\(P(A|B)=\frac{P(A)}{P(B)}\)

4. 全期望公式。\(P_{ij}=P(X=x_i,Y=y_i)(i,j=1,2,..n)\)，當\(X=x_i\)時，隨機變數\(Y\)的條件期望以\(E(Y|X=x_i)\)表示，則全期望公式：

   \[\begin{split} E(E(Y|X))& =\sum_{i=1}^{n}P=(X=x_i)E(Y|X=x_i)\\ & =\sum_{i=1}^{n}p_i\sum_{k=i}^{n}yk\frac{p_ik} {p_i}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=i}^{n}p_iy_k\frac{p_ik}{p_i}\\ & =E(Y) \end{split} \]

   所以：\(E(Y)=E(E(Y|X))=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)E(Y|X=x_i)\)

例題

如果yty一個人搬磚，平均需要4小時，而hh有0.4的概率來幫yty搬磚，兩個人一起搬磚平均只需要3小時。

題解

令X表示搬磚的人數，Y表示搬磚的期望時間，則\(E(Y)=P(X==1)E(Y|X==1)+P(X=2)E(Y|X==2)=(1-0.4)*4-0.4*3=3.6\)