模運算基本概念

　　對於一個鐘錶來說，我們知道他從0點開始到12點結束（可以這麼理解），很容易知道

　　5點+3點 = 8點

　　那麼，9點+ 200點 的時候，時針再哪呢？ 答 ：

　　　　209 -12 = 197

　　　　197 - 12 = 185

　　　　....

　　　　17 -12 = 5

　　　　這種“回撥”叫做取模運算（modular arithmetic） 我們說 17 模 12 等於 5

　　　　Python中模運算子是 %

　　　　某種程度上，我們可以說：“模” 是 “餘數”

　　　　還需要記住，計算機中模運算的結果都是正數， 有方便的計算手段 ：

　　　　　　209 % 12 = 5 即數學上209 mod 12 = 5

>>> 209 mod 12
  File "<stdin>", line 1   
    209 mod 12
        ^
SyntaxError: invalid syntax
>>> 209 % 12   
5   
>>> -21 % 12
3
>>> -21 % 5 
4
>>>

P.S. 多重賦值

>>> a, b = 45, 687
>>> a, b
(
 
45, 687)
>>> a
45
>>> c, v, n, m = ['sad', 456, 'a', a]
>>> v
456
>>> v
456
>>> n
'a'
>>> c
'sad'
>>> m
45
>>> q, w, e = [555, 888] 
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: 
 
not enough values to unpack (expected 3, got 2)
>>> q, w, e = [555, 888, 999, 'dasdsd'] 
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: too many values to unpack (expected 3)
>>>

要求 ： 賦值運算子''="左右兩邊的項要相等

　　可以使用多重賦值來方便地交換值

>>> a, b = 45, 79
>>> a, b = b, a
>>> a, b
(79, 45)
>>>

歐幾里得演算法---找兩個正整數的GCD

　　GCD（最大公約數 or 最大公因數）

　　因子：若b整除a，則說b是a的一個因子，用b|a 表示

• • • 若 a|1, 則a = ±1　　　　
    • 若 a|b 且 b|c 則 a|c
    • 若 a|b 且 b|a, 則 a =±b
    • 任何不等於0的數整除0
    • 對於任意整數m, n，若有b|g, 且 b|h，則有b | (mg + nh)
    • 若有b|g，則存在g₁, 使得g可以表示為 g = b×g₁

Euclid algorithm:

　　（1）假設我們要求出整數a 和 b 的最大公因子d，因為gcd(|a|, |b|) =gcd(a, b), 我們大膽假定 a≥ b > 0

　　（2）使用帶餘除法，b除a表示為：　　　　　　a = q₁b + r_{1 ;} 0≤ r₁< b

　　（3）首先靠遇到r₁= 0 時，即 b整數了a , 餘數為0， 模運算 a mod b = 0, a 和 b 的公因子不可能有

　　　　比b更大的數了，所以這時候， 最大公約數 d = gcd(a, b) = b

　　（4）另一種情況是，r₁≠0, 這時，由於存在 d|a, d|b, 那麼一定有d | (a - q₁b) 即: d|r₁， d是r₁的因子！

　　（5）考察gcd(b, r₁) = ? 我們知道了

　　　　d|b ,d|r₁, 對於b 和 r₁的任何一個公因子c來說，有c|(q₁b + r₁) 即 c|a, c|b，

　　　　我們說 c ≤ d， 因為 d 已經被定義為最大的的那個公因子，

　　　　所以 d =gcd(b, r₁)

特別的，如果說gcd(a,b) = 1 ，那麼就說a 和 b互質

Euclid 演算法python實現：

>>> def mygcd(a, b):    
...     while a != 0:
...             a, b = b % a, a 
...     return b


>>>
>>> mygcd(9, 3)     
3
>>> mygcd(409119243, 87780243) 
6837
>>>