一、概念

1、浮點數：小數點位置是漂浮不定的。

　　例如：浮點數運算 1.1 * 1.1 = 1.21，小數點位置發生了變化。

2、定點數：小數點的位置是確定的。

　　例如：定點數運算 1.1 * 1.1 = 1.2，小數點的位置沒有變化。

二、Verilog表示定點數

　　FPGA 的暫存器只可以表示正整數，通過約定【最高位為符號位】則可以表達負整數了。同理，帶小數點的定點數也是可以通過一些約定來表示。

　　約定方法：確定小數點的位置。如下圖所示，Q_n表示小數點的位置，n為多少表示有多少位小數，看看同樣的二進位制數字“10101”會變成什麼。

二進位制數    小數點位置    對應定點數
 
 
10101        Q0        10101
 10101        Q1        1010.1
 10101        Q2        101.01
 10101        Q3        10.101
 10101        Q4        1.0101
 10101        Q5        0.10101

　　因此我們只要定位了小數點位置後，就可以在FPGA中表達帶小數的定點數。

三、浮點數的定點化

　　兩個 16 位的浮點數運算，最高位是符號位：2.918 * 3.1415926 = 9.1671672068，嘗試將浮點數進行定點化。

1、定點轉換（Q_n=12）

　　符號1位，整數3位，小數12位，可以看成把 1 分成了 2¹²

• 2.918 * 2¹² = 11952.168 = 11952；
• 3.1415926 * 2¹² = 12867.8632896 = 12868；

2、定點數相乘

　　11952 * 12868 = 153798336。

3、結果還原

　　相乘後，整數部分為 6 位，小數部分為 24 位。因此結果 = 153798336 / 2²⁴ = 9.167095184326171875，和結果的差距非常小。

4、量化誤差和量化精度

　　小數點的位置不同帶來的量化誤差不同，例如上面定點轉換的過程中出現的小數點進行了四捨五入，這是因為 2.918 無法完全用 1/2¹²來表示。小數位數越多，表示的量化精度越高，小數位為 Q_n

5、無損定點化

　　所謂【無損定點化】只是數學概念，只要量化誤差小於精度的一半，就認為是“無損”的。按照這個標準，那對小數點採取四捨五入的結果必然是無損的。但是校招時很多題採取的是“量化後直接去除小數”，那麼小數大於 0.5 則不是無損的了。

四、例題

1、【大疆】對 12.918 做無損定點化，需要的最小位寬是多少位？位寬選擇 11 位時的量化誤差是多少？

A   13位，0.0118
B   12位，0.0118
C   13位，0.0039
D   12位，0.0039

　　分析：（1）整數為12，需要 4bit，接著考慮小數需要多少 bit。假設需要12位，即小數需要 8bit，12.918 * 2⁸ = 3307.008，出現0.008的小數，其值小於0.5，可以看成是【無損定點化】，固第一問答案為 12 位；（2）位寬選擇11位，即小數需要 7bit，12.918 * 2⁷ = 1653.504，出現0.504的小數，量化誤差為0.504/2⁷ = 0.0039375，固第二問答案為0.0039。

　　答案：結合分析，得出答案為D。

2、【大疆】對12.758做無損定點化，需要的最小位寬是多少位？位寬選擇為8位時的量化誤差是多少？

A   11位，0.008
B   11位，0.08
C   12位，0.008
D   12位，0.08

　　分析：（1）整數為12，需要 4bit，接著考慮小數需要多少 bit。假設需要11位，即小數需要 7bit，12.758 * 2⁷= 1633.024，出現0.024的小數，其值小於0.5，可以看成是【無損定點化】，固第一問答案為 11 位；（2）位寬選擇 8 位，即小數需要 4bit，12.758 * 2⁴ = 204.128，出現0.128的小數，量化誤差為0.128/2⁴ = 0.008，固第二問答案為0.008。

　　答案：結合分析，得出答案為A。

　　我感覺這題的第一問有些問題，位寬為 8 位時也是符合【無損定點化】的，我算了一下，實際上到位寬為 7 位（小數為3位）時，仍然是【無損定點化】，位寬為 6 位時才不是【無損定點化】。但這是選擇題，只能選 A 了。

參考資料：https://www.cnblogs.com/bixiaopengblog/p/7728538.html