題目描述

有n個圓盤從天而降，後面落下的可以蓋住前面的。求最後形成的封閉區域的周長。看下面這副圖, 所有的紅色線條的總長度即為所求.

輸入

第一行為1個整數n,N<=1000
接下來n行每行3個實數,ri,xi,yi,表示下落時第i個圓盤的半徑和圓心坐標.

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最後的周長，保留三位小數

樣例輸入

2
1 0 0
1 1 0

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10.472

題解

計算幾何

考慮從下到上的每一個圓，它被其它的圓覆蓋了多少。即考慮它被覆蓋了多少弧度。

考慮兩個圓，如果相離則不覆蓋，內含判斷一下包含關系。

如果它們相交，則兩個半徑和圓心連線形成了一個三角形，使用余弦定理$a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$可以求出交點與圓心連線的夾角，再用$atan2$求出極角，極角加減夾角即為覆蓋弧度。

得到所有覆蓋弧度範圍後排序，求區間覆蓋即可。

註意一下覆蓋弧度範圍跨越0和2π的處理。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 1010
#define squ(x) ((x) * (x))
using namespace std;
const double pi = acos(-1);
struct data
{
    double pl , pr;
    bool operator<(const data &a)const {return pl < a.pl;}
}a[N << 1];
double x[N] , y[N] , r[N];
int tot;
int main()
{
    int n , i , j;
    double afa , beta , d , last , ans = 0;
    scanf("%d" , &n);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lf%lf%lf" , &r[i] , &x[i] , &y[i]);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    {
        ans += 2 * pi * r[i];
        tot = 0;
        for(j = i + 1 ; j <= n ; j ++ )
        {
            tot ++ , d = squ(x[i] - x[j]) + squ(y[i] - y[j]);
            if(squ(r[i] + r[j]) <= d) a[tot].pl = a[tot].pr = 0;
            else if(squ(r[i] - r[j]) >= d)
            {
                if(r[i] > r[j]) a[tot].pl = a[tot].pr = 0;
                else a[tot].pl = 0 , a[tot].pr = 2 * pi;
            }
            else
            {
                afa = acos((r[i] * r[i] + d - r[j] * r[j]) / (2 * r[i] * sqrt(d)));
                beta = atan2(y[j] - y[i] , x[j] - x[i]);
                if(beta < 0) beta += 2 * pi;
                a[tot].pl = beta - afa , a[tot].pr = beta + afa;
                if(a[tot].pl < 0) tot ++ , a[tot].pl = a[tot - 1].pl + 2 * pi , a[tot - 1].pl = 0 , a[tot].pr = 2 * pi;
                else if(a[tot].pr > 2 * pi) tot ++ , a[tot].pr = a[tot - 1].pr - 2 * pi , a[tot - 1].pr = 2 * pi , a[tot].pl = 0;
            }
        }
        sort(a + 1 , a + tot + 1);
        last = -1;
        for(j = 1 ; j <= tot ; j ++ )
        {
            if(a[j].pr <= last) continue;
            if(a[j].pl > last) ans -= (a[j].pr - a[j].pl) * r[i];
            else ans -= (a[j].pr - last) * r[i];
            last = a[j].pr;
        }
    }
    printf("%.3lf\n" , ans);
    return 0;
}

【bzoj1043】[HAOI2008]下落的圓盤 計算幾何