Description

給定一個nxm的網格，請計算三點都在格點上的三角形共有多少個。下圖為4x4的網格上的一個三角形。

註意三角形的三點不能共線。

Input

輸入一行，包含兩個空格分隔的正整數m和n。

Output

輸出一個正整數，為所求三角形數量。

solution

給的 n，m 是格子數，實際上點數是n+1，m+1，所以我們先++n，++m 下面說的n，m是點數

我一開始是想著總方案數是 C(n*m，3)，然後減去 豎列，橫行，對角線 長度len的 C(len，3)

但是我只考慮斜率為 1/-1 的對角線，在wa了多次後看題解，發現竟然還有其他的對角線...

其實考慮到那種情況，我也做不出來，因為用 組合數 計算 三點共線的三角形 無法去重...

補集思想我想出來了

但是正解計算不合法三角形是：

枚舉不合法三角形中 最左邊和最右邊的兩個端點，計算中間端點的個數，即為當前端點為這樣時的不合法三角形個數

計算中間端點有個定(gui)理(lv)：

(x1,y1)和(x2,y2)之間的點數(不包括端點)為 gcd( abs(x1-x2),abs(y1-y2) )-1 個

暴力枚舉兩個端點是O(n^2*m^2*logn)肯定超時

優化是固定左端點為(1,1) (我習慣最上角是(1,1)) 枚舉右端點，得到一條線段，然後將這條線段挪動

得到 (n-i+1)*(m-j+1) 個相同的線段 (這個不是定理，可以自己畫畫找規律)

O(n*m*logn)

最後 ans=C(n*m,3)-sum(不合法三角形個數)

 1 #include<cstring>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<iostream>
 4 #define ll long long
 5 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 6 using namespace std;
 7 const int N=1066;
 8 const int LEN=303;
 9 ll gcd(ll x,ll y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}
10 
11 ll n,m;
 
12 
13 int main(){
14     
15     scanf("%lld%lld",&n,&m);
16     if(n<m)swap(n,m);
17     ++n;++m;
18     
19     ll ans=(ll)(n*m-1)*(ll)(n*m-2)*n*m/6;
20     ll temp;
21     for(int i=1;i<=n;++i)
22       for(int j=1;j<=m;++j)
23       {
24             if(i==1&&j==1)
25               temp=0;
26             else
27               if(i==1)
28                 temp=j-2;
29             else
30               if(j==1)
31                 temp=i-2;
32             else
33                 temp=gcd(i-1,j-1)-1;
34             
35             if(i!=1&&j!=1)
36                 ans-=(temp*(n-i+1)*(m-j+1)*2);
37             else
38               ans-=(temp*(n-i+1)*(m-j+1));
39         }
40     cout<<ans;
41     //while(1);
42     return 0;
43 } 
44     

bzoj 3505: [Cqoi2014]數三角形