題目背景

無

題目描述

給定一長度為n的動態序列，請編寫一種數據結構，要求支持m次操作，包括查詢序列中一閉區間中所有數的GCD，與對一閉區間中所有數加上或減去一個值。

輸入輸出格式

輸入格式：

第1行兩個數n，m，表示序列長度和操作次數。

第2行n個數ai，表示給定序列。

第3行至第m+2行，每行3~4個數：

（1） 1 x y k 表示將[x,y]上的所有數加上k。

（2） 2 x y 表示詢問[x,y]上所有數的GCD。

輸出格式：

對所有操作2，輸出一個數，表示詢問結果。

輸入輸出樣例

7 3
4 8 2 6 5 7 10
2 1 4
1 2 3 7
2 2 3

2
3

說明

定義：a，b∈Z時，gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b))

對於30%的數據，n,m<=1000。

對於90%的數據，n,m<=100000。

對於100%的數據，n,m<=200000，ai<=1e7（初始）,abs(k)<=1e7。

題解：

如果題目要求改為只支持區間查詢，那麽線段樹或ST表都可以很方便地實現。進一步思考，區間修改無法用普通線段樹實現的根本原因在於對[l,r]修改後[l,r]的結果無法O(1)計算出來。
如果區間修改改為單點修改，則可以用線段樹暴力log(n)修改。

此處證明一個引理：gcd(a₁,a₂,a₃,...,a_i

具體操作：將原數組進行差分，用一棵支持單點修改的線段樹維護gcd，將差分數組用一個樹狀數組維護前綴和（用來求出變化後的a[l],也可以合並在線段樹中）。
註意：差分時對區間[l,r]涉及到對r+1的操作，為防止溢出，線段樹區間增大至[1,n+1]。

代碼如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
LL node[4*maxn],a[maxn],c[maxn],d[maxn];
int n,m;LL ans;
LL gcd(LL a,LL b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
void pushup(int x){node[x]=abs(gcd(node[x<<1],node[x<<1|1]));}
void build(int x,int l,int r) {
if(l==r){node[x]=d[l];return;}
int mid=(l+r)>>1;
build(x<<1,l,mid);build(x<<1|1,mid+1,r);
pushup(x);
}
void change(int x,int l,int r,int pos,int d) {
if(l==r){node[x]+=d;return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid){change(x<<1,l,mid,pos,d);}
else{change(x<<1|1,mid+1,r,pos,d);}
pushup(x);
}
void query(int x,int l,int r,int sj,int tj) {
if(sj<=l&&r<=tj){ans=abs(gcd(node[x],ans));return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(sj<=mid){query(x<<1,l,mid,sj,tj);}
if(mid+1<=tj){query(x<<1|1,mid+1,r,sj,tj);}
pushup(x);
}
void add(int x,int d) {
int i;
for(i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){c[i]+=d;}
}
LL sum(int x) {
int i;LL ans=0;
for(i=x;i>=1;i-=lowbit(i)){ans+=c[i];}
return ans;
}
int main() {
int i,j,flag,l,r,dlt;
cin>>n>>m;
for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);}
n++;
for(i=1;i<=n;i++){d[i]=a[i]-a[i-1];add(i,d[i]);}
build(1,1,n);
//for(i=1;i<=3*n;i++){printf("i=%d node[i]=%d\n",i,node[i]);}
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&flag,&l,&r);
if(flag==1){scanf("%d",&dlt);change(1,1,n,l,dlt);change(1,1,n,r+1,-dlt);add(l,dlt);add(r+1,-dlt);}
else{ans=0;query(1,1,n,l+1,r);/*printf("ans=%d sum(l)=%d\n",ans,sum(l));*/printf("%lld\n",abs(gcd(ans,sum(l))));}
}
return 0;
}

Luogu T9376 區間GCD