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2004: [Hnoi2010]Bus 公交線路

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Description

小Z所在的城市有N個公交車站，排列在一條長(N-1)km的直線上，從左到右依次編號為1到N，相鄰公交車站間的距 離均為1km。 作為公交車線路的規劃者，小Z調查了市民的需求，決定按下述規則設計線路： 1.設共K輛公交車，則1到K號站作為始發站，N-K+1到N號臺作為終點站。 2.每個車站必須被一輛且僅一輛公交車經過（始發站和 終點站也算被經過）。 3.公交車只能從編號較小的站臺駛往編號較大的站臺。 4.一輛公交車經過的相鄰兩個 站臺間距離不得超過Pkm。 在最終設計線路之前，小Z想知道有多少種滿足要求的方案。由於答案可能很大，你只 需求出答案對30031取模的結果。

Input

僅一行包含三個正整數N K P，分別表示公交車站數，公交車數，相鄰站臺的距離限制。 N<=10^9，1<P<=10，K<N，1<K<=P

Output

僅包含一個整數，表示滿足要求的方案數對30031取模的結果。

Sample Input

樣例一：10 3 3
樣例二：5 2 3
樣例三：10 2 4

Sample Output

1
3
81

HINT

【樣例說明】

樣例一的可行方案如下： (1,4,7,10)，(2,5,8)，(3,6,9)

樣例二的可行方案如下： (1,3,5)，(2,4) (1,3,4)，(2,5) (1,4)，(2,3,5) P<=10 , K <=8

思路{

P,K小得不行，想到了狀態壓縮。n的範圍如此之大，考慮矩陣快速冪！
先從簡單的狀態壓縮開始。設$dp[i][j]$為強制選第i號停車，從第i號開始的後面p個的停車狀態。轉移。
發現一個問題(1->3,2->4)和(2->4,1->3)屬於同一種情況，所以我們只需要考慮dp[i-1]->dp[i]。
關鍵就是後面狀態j的轉移關系了。發現dp[i-1][j‘]->dp[i][j]滿足j‘變成j時實際位置對應的狀態中的二進制數的位數+1
那麽先刪去i-1位置的數,j‘-=(1<<(p-1)),然後j‘<<1,變成對應的位置，由於j‘->j時只有一個相對位置發生了變化，那麽j‘^=j，判斷j‘的二進制數中1的個數是否為1即可。
那麽轉移方程就出來了。考慮構造矩陣。
暴力構造矩陣的話大小是(2^p)^2的顯然不行，我們只需考慮後面的p位中有k位有車的狀態，不妨先DFS找出所有的狀態，然後兩兩枚舉即可。註意轉移關系在矩陣中對應的位置
不難發現構造的矩陣大小是(C(p-1,k-1))的，那這個就很對了。
所以總的復雜度是O(logn*C(p-1,k-1)^3+p!)的。
}

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define RG register
#define il inline
#define N 200
#define mod 30031
using namespace std;
int n,k,p,que[N];
struct matrix{
  int n,m;
  ll ma[N][N];
  void clear(){memset(ma,0,sizeof(ma));n=m=0;}
  matrix operator *(const matrix & a)const {
    matrix c;c.clear();
    c.n=n,c.m=a.m;
    for(int i=1;i<=c.n;++i){
      for(int j=1;j<=c.m;++j){
	for(int k=1;k<=m;++k){
	  c.ma[i][j]+=ma[i][k]*a.ma[k][j];
	}
	(c.ma[i][j]+=mod)%=mod;
      }
    }
    return c;
  }
};
matrix qp(matrix a,ll b){
  if(b==1)return a;if(b==2)return a*a;
  matrix tmp=qp(a,(b>>1));
  tmp=tmp*tmp;
  if(b&1)tmp=tmp*a;
  return tmp;
}
void dfs(int pos,int num,int cnt){
  if(cnt==k){que[++que[0]]=num;return;}
  for(int i=pos-1;i!=-1;i--)
    dfs(i,num+(1<<i),cnt+1);
}
#define lowbit(o) ( (o) & (-o) )
bool check(int x,int y){
  int Temp=x-(1<<(p-1));
  Temp<<=1;Temp^=y;
  if(Temp==lowbit(Temp))return 1;
  return 0;
}
int main(){
  scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
  dfs(p-1,(1<<(p-1)),1);
  matrix temp;temp.clear();temp.n=temp.m=que[0];
  matrix ans;ans.clear();ans.ma[1][1]=1;ans.n=que[0],ans.m=1;
  for(int i=1;i<=que[0];++i){
    for(int j=1;j<=que[0];++j){
      if(check(que[i],que[j]))temp.ma[j][i]=1;
    }
  }
  temp=qp(temp,n-k);
  ans=temp*ans;
  cout<<ans.ma[1][1];
  return 0;
}

BZOJ2004: [Hnoi2010]Bus 公交線路