一道有點神的線段樹。

Description

　　有一天，由於某種穿越現象作用，你來到了傳說中的小人國。小人國的布局非常奇特，整個國家的交通系統可以被看成是一個2行C列的矩形網格，網格上的每個點代表一個城市，相鄰的城市之間有一條道路，所以總共有2C個城市和3C-2條道路。 小人國的交通狀況非常槽糕。有的時候由於交通堵塞，兩座城市之間的道路會變得不連通，直到擁堵解決，道路才會恢復暢通。初來乍到的你決心毛遂自薦到交通部某份差事，部長聽說你來自一個科技高度發達的世界，喜出望外地要求你編寫一個查詢應答系統，以挽救已經病入膏肓的小人國交通系統。 小人國的交通部將提供一些交通信息給你，你的任務是根據當前的交通情況回答查詢的問題。交通信息可以分為以下幾種格式：

Input

　　第一行只有一個整數C，表示網格的列數。接下來若幹行，每行為一條交通信息，以單獨的一行“Exit”作為結束。我們假設在一開始所有的道路都是堵塞的。

Output

　　對於每個查詢，輸出一個“Y”或“N”。

Sample Input

　　2
　　Open 1 1 1 2
　　Open 1 2 2 2
　　Ask 1 1 2 2
　　Ask 2 1 2 2
　　Exit

Sample Output

　　Y
　　N

HINT

　　C,信息條數<=100000。

Solution

　　修改、詢問……首先確定這是一道數據結構題。

　　可是它每次詢問的是兩個點的連通性，可持久化並查集？你在逗我？

　　連通性怎麽維護？

　　我們發現它實質上是在一條線段上進行連通性維護的，即使它有兩條，實際上是沒有太大區別的。

　　我們仔細思考一下行數只有1的時候，用數據結構

　　用線段樹維護只在該區間影響下，區間兩端是否連通，合並起來是毫無壓力的。

　　那麽行數為2的時候，我們也試試看這樣維護？

　　我們用線段樹維護只在該區間影響下，區間中左上和右上右下，左下和右上右下是否連通，合並起來同樣也是沒有壓力的。

　　這樣我們似乎就解決了詢問的問題？

　　顯然這只是其中一種情況，但是還可能有區間外的邊影響其連通性的情況：

　　當然還有更騷的，可以這樣：

　　其實不外乎就是這4種情況，幸好我們都是可以處理的。

　　你會發現後3種情況我們可以是看作幾個區間的共同作用：

　　這樣你就突然發現，每個區間的作用是獨立的，也就是說正好是我們所能夠維護的。

　　所以除了上面4項需要維護，我們還需要維護區間左上和左下是否連通，右上和右下是否連通，合並同樣很好實現。

　　這樣我們就完美解決了詢問操作。

　　至於修改操作根本就是小case了，小C也大約說一下自己的做法。

　　更改不同行之間的連通性就是直接改。

　　然而更改不同列之間的連通性可以動動腦子，我們可以預處理出第i列到第i+1列之間的道路哪個區間更新時會用到它。

　　例如n=8，第4、5列之間的道路在[1,8]區間更新時被用到；第1、2列之間的道路在[1,2]區間更新時被用到。

　　很容易證明列間道路和它的更新區間是一一對應的關系。

　　所以修改某條列間道路時，只要順著線段樹往下找它對應的更新區間，做一次更新操作，再向上更新即可。

　　時間復雜度O(nlogn*更新常數)。（不知道出題人總時間開3s是什麽心態……）

　　（合並操作寫得像豆腐塊一樣）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MN 100005
#define l(a) (a<<1)
#define r(a) (a<<1|1)
using namespace std;
const int zx[2][2]={{0,2},{3,1}};
int lk[3][MN];
struct node
{
    int r; bool a[6]; //--\/||
    friend node operator+(const node& a,const node& b)
    {
        node c;
        c.r=b.r;
        c.a[0]=a.a[0]&&lk[0][a.r]&&b.a[0]||a.a[2]&&lk[1][a.r]&&b.a[3];
        c.a[1]=a.a[1]&&lk[1][a.r]&&b.a[1]||a.a[3]&&lk[0][a.r]&&b.a[2];
        c.a[2]=a.a[0]&&lk[0][a.r]&&b.a[2]||a.a[2]&&lk[1][a.r]&&b.a[1];
        c.a[3]=a.a[1]&&lk[1][a.r]&&b.a[3]||a.a[3]&&lk[0][a.r]&&b.a[0];
        c.a[4]=a.a[4]||a.a[0]&&a.a[1]&&lk[0][a.r]&&lk[1][a.r]&&b.a[4];
        c.a[5]=b.a[5]||b.a[0]&&b.a[1]&&lk[0][a.r]&&lk[1][a.r]&&a.a[5];
        return c;
    }
}t[MN<<2];
int ct[MN][2];
int n;

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<‘0‘ || c>‘9‘) {if(c==‘-‘)f=-1; c=getchar();}
    while (c>=‘0‘ && c<=‘9‘) {n=n*10+c-‘0‘; c=getchar();}
    return n*f;
}

node getitv(int x,int L,int R,int ql,int qr)
{
    if (ql==L&&qr==R) return t[x];
    int mid=L+R>>1;
    if (qr<=mid) return getitv(l(x),L,mid,ql,qr);
    else if (ql>mid) return getitv(r(x),mid+1,R,ql,qr);
    else return getitv(l(x),L,mid,ql,mid)+getitv(r(x),mid+1,R,mid+1,qr);
}
void getcg2(int x,int L,int R,int ql,int qr)
{
    if (ql==L&&qr==R) {t[x]=t[l(x)]+t[r(x)]; return;}
    int mid=L+R>>1;
    if (qr<=mid) getcg2(l(x),L,mid,ql,qr);
    else if (ql>mid) getcg2(r(x),mid+1,R,ql,qr);
    t[x]=t[l(x)]+t[r(x)];
}
void getcg1(int x,int L,int R,int q)
{
    if (L==R) {t[x].a[2]^=1; t[x].a[3]^=1; t[x].a[4]^=1; t[x].a[5]^=1; return;}
    int mid=L+R>>1;
    if (q<=mid) getcg1(l(x),L,mid,q); else getcg1(r(x),mid+1,R,q);
    t[x]=t[l(x)]+t[r(x)];
}

void build(int x,int L,int R)
{
    if (L==R) {t[x].r=R; t[x].a[0]=t[x].a[1]=true; return;}
    int mid=L+R>>1;
    ct[mid][0]=L; ct[mid][1]=R;
    build(l(x),L,mid); build(r(x),mid+1,R);
    t[x]=t[l(x)]+t[r(x)];
}

int main()
{
    register int x1,y1,x2,y2,g;
    char c[10];
    n=read();
    build(1,1,n);
    for (scanf("%s",c);c[0]!=‘E‘;scanf("%s",c))
    {
        x1=read()-1; y1=read(); x2=read()-1; y2=read();
        if (c[0]==‘O‘||c[0]==‘C‘)
        {
            if (x1==x2) {g=x1; if (y1>y2) swap(y1,y2);} else g=2;
            if (lk[g][y1]^(c[0]==‘C‘)) continue;
            lk[g][y1]^=1;
            if (g==2) getcg1(1,1,n,y1); else getcg2(1,1,n,ct[y1][0],ct[y1][1]);
        }
        else if (c[0]==‘A‘)
        {
            if (y1>y2) swap(x1,x2),swap(y1,y2);
            node lt=getitv(1,1,n,y1,y2),lt1,lt2;
            if (lt.a[zx[x1][x2]]) {puts("Y"); continue;}
            if (y1>1) lt1=getitv(1,1,n,1,y1-1);
            if (y2<n) lt2=getitv(1,1,n,y2+1,n);
            if (y1>1&&lt.a[zx[!x1][x2]]) if (lk[0][y1-1]&&lk[1][y1-1]&&lt1.a[5]) {puts("Y"); continue;}
            if (y2<n&&lt.a[zx[x1][!x2]]) if (lk[0][y2  ]&&lk[1][y2  ]&&lt2.a[4]) {puts("Y"); continue;}
            if (y1>1&&y2<n&&lt.a[zx[!x1][!x2]])
                if (lk[0][y1-1]&&lk[1][y1-1]&&lt1.a[5]&&lk[0][y2  ]&&lk[1][y2  ]&&lt2.a[4]) {puts("Y"); continue;}
            puts("N");
        }
    }
}

Last Word

　　小D當時就丟了一句“大力維護就好了啊”讓小C茅塞頓開……

　　“初來乍到”、“毛遂自薦”、“喜出望外”、“病入膏肓”……出題人的語文水平還是值得肯定的。

[BZOJ]1018 堵塞的交通(SHOI2008)