海明校驗碼
一、概述
由Richard Hamming於1950年提出、目前還被廣泛采用的一種很有效的校驗方法，是只要增加少數幾個校驗位，就能檢測出二位同時出錯、亦能檢測出一位出錯並能自動恢復該出錯位的正確值的有效手段，後者被稱為自動糾錯。它的實現原理，是在k個數據位之外加上r個校驗位，從而形成一個k+r位的新的碼字，使新的碼字的碼距比較均勻地拉大。把數據的每一個二進制位分配在幾個不同的偶校驗位的組合中，當某一位出錯後，就會引起相關的幾個校驗位的值發生變化，這不但可以發現出錯，還能指出是哪一位出錯，為進一步自動糾錯提供了依據。
二、基本思想
將有效信息按某種規律分成若幹組，每組安排一個校驗位，做奇偶測試，就能提供多位檢錯信息，以指出最大可能是哪位出錯，從而將其糾正。實質上，海明校驗是一種多重校驗。
三、特點
它不僅具有檢測錯誤的能力，同時還具有給出錯誤所在準確位置的能力 但是因為這種海明校驗的方法只能檢測和糾正一位出錯的情況。所以如果有多個錯誤，就不能查出了。 假設為k個數據位設置r個校驗位，則校驗位能表示2^r個狀態，可用其中的一個狀態指出 "沒有發生錯誤"，用其余的2 ^r -1個狀態指出有錯誤發生在某一位，包括k個數據位和r個校驗位，因此校驗位的位數應滿足如下關系: 2^r-1 ≥ k + r (2.8)| k值 | 最小r值 |
| 1 | 2 |
| 2～4 | 3 |
| 5～11 | 4 |
| 12～26 | 5 |
| 27～57 | 6 |
| 58～120 | 7 |
1、編碼確定校驗碼的位數x
設數據有n位，校驗碼有x位。則校驗碼一共有2x種取值方式。其中需要一種取值方式表示數據正確，剩下2x-1種取值方式表示有一位數據出錯。因為編碼後的二進制串有n+x位，因此x應該滿足
2x-1 ≥ n+x
使不等式成立的x的最小值就是校驗碼的位數。在本例中，n=7，解得x=4。
2、確定校驗碼的位置
校驗碼在二進制串中的位置為2的整數冪。剩下的位置為數據。如圖所示。
| 位置 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 內容 | x1 | x2 | 1 | x3 | 0 | 1 | 0 | x4 | 1 | 1 | 0 |
3、求出校驗位的值
以求x2的值為例。為了直觀，將表格中的位置用二進制表示。
| 位置 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 |
| 內容 | x1 | x2 | 1 | x3 | 0 | 1 | 0 | x4 | 1 | 1 | 0 |
為了求出x2,要使所有位置的第二位是1的數據（即形如**1*的位置的數據）的異或值為0。即x2^1^1^0^1^0 = 0。因此x2 = 1。
同理可得x1 = 0, x3 = 1, x4 = 0。
| 位置 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 |
| 內容 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
因此1010110的海明碼為01110100110。
4、校驗
假設位置為1011的數據由0變成了1，校驗過程為：
將所有位置形如***1, **1*, *1**, 1***的數據分別異或。
***1: 0^1^0^0^1^1 = 1
**1*: 1^1^1^0^1^1 = 1
*1**: 1^0^1^0 = 0
1***: 0^1^1^1 = 1
以上四組中，如果一組異或值為1，說明該組中有數據出錯了。***1 **1* 1***的異或都為1，說明出錯數據的位置為1011。
海明校驗碼