二元運算符 ‘≡’： 當 a%p = b%p 時，a ≡ b ( mod p )

模運算對於 加法 和 乘法 同樣適用，也就是說，如果 a ≡ a` (mod p) 和 b ≡ b` (mod p)，那麽

a + b ≡ a` + b` (mod p)

a * b ≡ a` * b` (mod p)

對於 除法 卻不適用

　　存在 a / b mod p != a` / b` mod p

模乘法逆元：若 a * b ≡ 1 (mod p)，則稱 a 為 b 的模乘法逆元(在mod p 的情況下)，或稱 b 為 a 的模乘法逆元(在mod p 的情況下)

假設 a / b ≡ c (mod p)，b * x ≡ 1 (mod p)

那麽 a * x ≡ c (mod p)

• 擴展歐幾裏得求模乘法逆元

　　現已知 a，b，p 要求 c

　　 則只要找到 b 的模乘法逆元 x ，使得 b * x ≡ 1 (mod p) 則可求得 c

　　 b * x ≡ 1 (mod p)

　　 則 b * x + p * y = 1

　　 這樣問題就轉化為求已知 b，p 求 一元整數組 ( x, y ) 使得 b * x + p * y = 1 ， 可用擴展歐幾裏得算法

　　　　若得不到一元整數組 ( x, y )，也就是 gcd(b, p) != 1, 則 (在mod p 的情況下) 不存在 b 的模乘法逆元

• 費馬小定理求模乘法逆元

　　費馬小定理：假如 b 是一個整數，p 是一個質數，那麽 b^p - b 是 p 的倍數

　　　　b ^ p ≡ b ( mod p)

　　b * b^p-2 ≡ 1 (mod p)

• 遞推求 1 - n 求模乘法逆元

　　inv[ i ] 表示 i 的模乘法逆元

　　　　設 k = p % i, t = ( p - k ) / i

　　 　 則 t * i + k = p

　　　　　t * i + k ≡ 0 ( mod p )

　　　 若 k 不為 0 ，同除以 ( k * i )

　　　　 t * i / ( k * i ) + k / ( k * i ) ≡ 0 ( mod p )

　　　　 t / ( p % i ) + 1 / i ≡ 0 ( mod p )

　　　　　( p - k ) / i * inv[ p % i ] + inv[ i ] ≡ 0 ( mod p )

    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        inv[i] = (p - p / i) * inv[p%i] % p;
    }

　　　因為 k 不為 0，要求 p % i 不為 0

模運算的乘法逆元