blog output efi 。。 ret 可以轉化 新的遊戲 gist put

Description

小A和小B又想到了一個新的遊戲。 這個遊戲是在一個1*n的棋盤上進行的，棋盤上有k個棋子，一半是黑色，一半是白色。 最左邊是白色棋子，最右邊是黑色棋子，相鄰的棋子顏色不同。 小A可以移動白色棋子，小B可以移動黑色的棋子，他們每次操作可以移動1到d個棋子。 每當移動某一個棋子時，這個棋子不能跨越兩邊的棋子，當然也不可以出界。當誰不可以操作時，誰就失敗了。 小A和小B輪流操作，現在小A先移動，有多少種初始棋子的布局會使他勝利呢？

Input

共一行，三個數，n,k,d。

Output

輸出小A勝利的方案總數。答案對1000000007取模。

Sample Input

10 4 2

Sample Output

182

HINT

1<=d<=k<=n<=10000, k為偶數，k<=100。

正解：博弈論+$dp$。

推薦博客：$nim$遊戲及其變形

首先題目似乎漏了一句話，就是白棋不能右移，黑棋不能左移。。

因為每對黑白棋相鄰，所以實際上我們可以轉化一下模型，每對黑白棋就是一堆石子，它們的距離$-1$就是石子個數。

現在每次可以取$d$個石子堆中的石子，問先手必勝的方案有多少？

這是一個經典的$nim-k$問題，結論是對於石子堆的每一個二進制位，如果這一位上為$1$的石子堆數是$d+1$的倍數，那麽先手必敗。

所以我們可以直接考慮先手必敗的方案數，再用總方案數減去即可。

設$f[i][j]$表示考慮到二進制從小到大的第$i$位，當前石子總數為$j$，先手必敗的方案數。

那麽$f[i+1][j+p*(d+1)*2^{i}]+=f[i][j]*\binom{k/2}{p*(d+1)}$，註意第二維必須$\leq n-k$。

最後我們枚舉石子數$i$，那麽$Ans-=f[15][i]*\binom{n-k/2-i}{k/2}$，這裏可以看成在合法位置中選擇$k/2$個位置的方案數。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3
 
 #define RG register
 4 #define ll long long
 5 #define rhl (1000000007)
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 int c[10005][105],f[16][10005],n,k,d,ans;
10 
11 il int gi(){
12   RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
13   while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar();
14   if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar();
15   while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
16   return q*x;
17 }
18 
19 il int C(RG int n,RG int m){
20   return n<m ? 0 : c[n][min(m,n-m)];
21 }
22 
23 int main(){
24 #ifndef ONLINE_JUDGE
25   freopen("chess.in","r",stdin);
26   freopen("chess.out","w",stdout);
27 #endif
28   n=gi(),k=gi(),d=gi(),c[0][0]=1;
29   for (RG int i=1;i<=n;++i){
30     c[i][0]=1;
31     for (RG int j=1;j<=k && j<=i;++j){
32       c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
33       if (c[i][j]>=rhl) c[i][j]-=rhl;
34     }
35   }
36   f[0][0]=1,ans=C(n,k);
37   for (RG int i=0;i<15;++i)
38     for (RG int j=0;j<=n-k;++j)
39       for (RG int p=0,q;p*(d+1)<=(k>>1);++p){
40     q=j+p*(d+1)*(1<<i); if (q>n-k) break;
41     f[i+1][q]=(1LL*f[i][j]*C(k/2,p*(d+1))+f[i+1][q])%rhl;
42       }
43   for (RG int i=0;i<=n-k;++i){
44     ans=(-1LL*f[15][i]*C(n-k/2-i,k/2)+ans)%rhl;
45     if (ans<0) ans+=rhl;
46   }
47   cout<<ans; return 0;
48 }

bzoj2281 [Sdoi2011]黑白棋