題目

題目大意

在一個1*n的棋盤上，有黑棋和白棋交錯分佈，每次，一個人可以移動自己的 $d$顆旗子。
問先手必勝的方案數。

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思考歷程

在一開始，我就有點要放棄的念頭。
因為這題是一道博弈問題。
我是非常不擅長博弈類問題的。
但是其他的題有想不出來，於是只能硬是想了好久。
最終那了個部分分。

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正解

這題正解當然跟博弈有一些關係。
首先，對於這題有一個隱藏的限制。
白棋不能向左移，黑棋不能向右移。

這是為什麼？
我們可以感性理解一下（證明什麼的我當然不會）：
如果白棋左移，那麼在它右邊的黑棋可以模仿它的操作，也跟著左移。
同理，如果黑棋右移，那麼在它左邊的白棋也可以模仿他的動作，也跟著右移。
那麼我們就可以發現，這樣走是沒有意義的。
然後我們就可以轉換問題的模型：
可以將對應（相鄰）的兩個白棋和黑棋中間的距離當作石子。
那麼就有 $\frac{K}{2}$

堆石子，然後每次可以在至多 $d$堆石子，至少 $1$堆石子中各自拿走一顆石子。
這個問題叫Nimk問題。
這又是個什麼東西啊？
對於Nimk問題，我們有一個神奇的結論：將所有堆石子的個數化成二進位制，每一位統計一下 $1$

1 的個數，如果個數都是 $d+1$的倍數，那麼這就是必敗態。
如何證明？
我們可以感性理解一下：怎麼又是感性理解……
先手只能拿走 $1$到 $d$堆中的石子，那麼，後手可以故意的模仿，然後將兩人取得的石子的總數固定在 $d+1$。那麼如果一直這麼下去，後手必定會贏。
為什麼要轉成二進位制呢？
我覺得，其實只要轉成了二進位制，那麼後手就能保證每次能夠取得這麼多的石子，使得兩個人取石子的總數為 $d+1$。具體怎樣解釋，我覺得我還要好好理解一下，暫且感性感性吧（感性理解真是一個好東西）。

模型轉換成了Nimk問題，讓我們求先手必勝的方案數。
先手必勝的方案數等於總方案數減去先手必敗的方案數。
如何求先手必敗的方案數呢？
當然是DP。
設 $f_{i,j}$表示在二進位制的前 $i$位中，一共用了 $j$顆石子的先手必敗的方案數。
仔細想想這個狀態沒有任何問題，因為我們只需要保證在每一個二進位制位上都滿足它必敗就好了。這樣設狀態之後轉移就方便多了。
我們再列舉一個 $k$（小寫的 $k$，不要混淆），表示一共有 $k*(d+1)$堆石子下一個二進位制位上為 $1$。
轉移？
$f_{i+1,j+k*(d+1)*2^i}\leftarrow f_{i,j}*C_{\frac{K}{2}}^{k*(d+1)}$
注意：為了程式實現方便，在這個方程中，前 $i$位的最高位實際上是 $i-1$位。這樣的DP中，初始化直接是 $f_{0,0}=1$
在一波DP之後，我們就可以統計答案了。
其實我們可以將其視為，在 $n-j-K$個空中插入 $K/2$個東西。
這個東西可以用組合數來搞一搞，那麼就是 $C_{n-j-\frac{K}{2}}^{\frac{K}{2}}$種方案，用它來乘上 $f_{MAXBIT,j}$就好了。
然後這題就愉快地解決了。
複雜度表示懶得分析。

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程式碼

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mo 1000000007
int n,K,d;
int C[10001][101];
int f[17][10001];
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&K,&d);
	C[0][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		C[i][0]=1;
		for (int j=1;j<=i && j<=K;++j)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mo;
	}
	f[0][0]=1;
	for (int i=0;i<15;++i)
		for (int j=0;j<=n-K;++j)
			if (f[i][j])
				for (int k=0;k*(d+1)<=K>>1 && j+k*(d+1)*(1<<i)<=n-K;++k)
					(f[i+1][j+k*(d+1)*(1<<i)]+=(long long)f[i][j]*C[K>>1][k*(d+1)]%mo)%=mo;
	int ans=0;
	for (int j=0;j<=n-K;++j)
		ans=(ans+(long long)f[15][j]*C[n-j-(K>>1)][K>>1]%mo)%mo;
	printf("%d\n",(C[n][K]-ans+mo)%mo);
	return 0;
}

我認為這個程式實現不用註釋。

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總結

博弈類問題，可真是一個神奇東西啊！
然而，好多的我都不會嚴謹證明。
感性理解就好……
我覺得以後要多做一些博弈類問題。