數論——逆元
阿新 • • 發佈：2018-02-03
枚舉 spa bsp style 復雜 算法 數論 百度 正整數
逆元定義：對於正整數a，如果有a*x=1（mod m），那麽把這個同余方程中的最小正整數解x叫做a模m的逆元。（同余方程不了解的話可以先自行百度）
（即a*x%m==1）
那麽逆元有什麽用？
通常情況下我們會碰到形如（A/B）%m的情況，顯然（A/B）%m!=(A%m)/(B%m)。然而如果（A*B）%m=（A%m）*（B%m）。
如果我們將1/B轉化為A*X的形式。那麽X就是我們所要求的B在模m下的逆元！
下面講四種求逆元的方法：
1：暴力求解
給定模m和需要求逆的數x，直接暴力枚舉1~m-1
檢查是否有x*i=1(mod m)，這種算法可以應用與寫暴力、對拍、模數較小,求逆次數少的情況
時間復雜度O(m)
2：費馬小定理：
限制條件：1、gcd（a，m）==1，即a，m互質。
2、m為質數。
步驟：
即
，所以
是a在模m下的逆元，用快速冪就可以得出結果。
附上一篇費馬小定理分析的通俗易懂的博客https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194184.html
3：擴展歐幾裏得求逆元：（不會擴展歐幾裏得戳這裏：http://www.cnblogs.com/ISGuXing/p/8379483.html）
使用條件：a，b互質。
由exgcd可知a*x+b*y=gcd(a,b)，因為a，b互質，所以gcd（a，b）=1。故有a*x+b*y=1。故a*x=1（mod b）。
4：歐拉定理求逆元：（歐拉定理求逆元具有普適性，沒有a，b互質的限制）
有點費馬小定理的樣子，後面的處理和費馬小定理一樣用快速冪。
數論——逆元