伯努利數與自然數冪和
阿新 • • 發佈：2018-02-21
ots 第一次 伯努利數 pos display 自然數冪和 關系 次數 我們 舉個例子： 取\(m=1\)，我們有\(1+2+\dots+n=\frac{1}{2}(B_0n ^ 2 + 2 B_1 ^ {+} n ^ 1 )=\frac{1}{2}(n ^ 2 + n)\)
數學上，伯努利數 \(B_n\)的第一次發現與下述數列和的公式有關：\[\sum_{k=1} ^ {n} k ^ m = 1 ^ m + 2 ^ m + 3 ^ m + \dots + n ^ m\]其中\(m\)為固定的任意正整數。
這個數列的和的公式必定是變量為\(m\)，次數為\(n+1\)的多項式，稱為伯努利多項式。伯努利多項式的系數與伯努利數有密切關系如下。 \[\sum_{k=1} ^ {n} k ^ m = \frac {1} {m+1} \sum_{k=0} ^ m \dbinom{m+1}{k} B_k n ^{m+1-k}\]。
舉個例子： 取\(m=1\)，我們有\(1+2+\dots+n=\frac{1}{2}(B_0n ^ 2 + 2 B_1 ^ {+} n ^ 1 )=\frac{1}{2}(n ^ 2 + n)\)
伯努利數 滿足條件\(B_0=1\)，且\[\sum_{k=0} ^ n \dbinom{n+1}{k} B_k = 0\]於是有\[B_n=-\frac{1}{n-1} \sum_{k=0} ^ {n-1} \dbinom{n+1}{k} B_k\]
伯努利數與自然數冪和