伯努利數(Bernoulli)——學習筆記

伯努利數( $B e r n o u l l i$ )

B_{0} = 1 B_{1} = - \frac{1}{2} B_{2} = \frac{1}{6} B_{3} = 0 B_{4} = \frac{1}{30} . . .

可以從下式得到：

B_{0} = 1, \sum_{k = 0}^{n} B_{k} (\binom{n + 1}{k}) = 0 (n > 0)

變形一下：

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n + 1}{k}) B_{k} = 0 \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k}) B_{k} = 0 \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) B_{k} = B_{n} (n > 1)

對第三個式子用指數型生成函式，注意到等號左邊相當與

{B_{i}}

的生成函式與

{1}

的生成函式相乘的係數：

\hat{B} (z) e^{z} = \hat{B} (z) + z \hat{B} (z) = \frac{z}{e^{z} - 1}

右邊加 $z$ 是因為 $n = 1$ 的那項要補上。

這樣能得到伯努利數的生成函式定義： $\frac{x}{e^{x} - 1} = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{B_{i}}{i!} x^{i}$ 。

它能用來求自然數的冪和：

S_{m} (n) = 0^{m} + 1^{m} + . . . + (n - 1)^{m} S_{m} (n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m + 1}{k}) B_{k} n^{m + 1 - k}