洛谷P1854 花店櫥窗布置

分析+題解代碼

蒟蒻的第一道提高+/省選-，紀念一下。

題目描述：

某花店現有F束花，每一束花的品種都不一樣，同時至少有同樣數量的花瓶，被按順序擺成一行，花瓶的位置是固定的，從左到右按1到V順序編號，V是花瓶的數目。花束可以移動，並且每束花用1到F的整數標識。如果I < J，則花束I必須放在花束J左邊的花瓶中。例如，假設杜鵑花的標識數為1，秋海棠的標識數為2，康乃馨的標識數為3，所有花束在放入花瓶時必須保持其標識數的順序，即杜鵑花必須放在秋海棠左邊的花瓶中，秋海棠必須放在康乃馨左邊的花瓶中。如果花瓶的數目大於花束的數目，則多余的花瓶必須空，即每個花瓶只能放一束花。

每個花瓶的形狀和顏色也不相同，因此，當各個花瓶中放入不同的花束時，會產生不同的美學效果，並以美學值（一個整數）來表示，空置花瓶的美學值為0。在上述的例子中，花瓶與花束的不同搭配所具有的美學值，可以用如下的表格來表示：

花瓶1 花瓶2 花瓶3 花瓶4 花瓶5

杜鵑花 7 23 -5 -24 16

秋海棠 5 21 -4 10 23

康乃馨 -21 5 -4 -20 20

根據表格，杜鵑花放在花瓶2中，會顯得非常好看，但若放在花瓶4中，則顯得很難看。

為了取得最佳的美學效果，必須在保持花束順序的前提下，使花的擺放取得最大的美學值，如果具有最大美學值的擺放方式不止一種，則輸出任何一種方案即可。

輸入格式：

輸入文件的第一行是兩個整數F和V，分別為花束數和花瓶數（1≤F≤100，F≤V≤100）。接下來是矩陣Aij,它有I行，每行J個整數，Aij表示花束I擺放在花瓶J中的美學值。

輸出格式：

輸出文件的第一行是一個整數，為最大的美學值；接下來有F行，每行兩個數，為那束花放入那個花瓶的編號。

輸入樣例：

3 5
7 23 -5 -24 16
5 21 -4 10 23
-21 5 -4 -20 20

輸出樣例：

53
2 4 5

題目分析：

首先我們要註意的幾個題目細節

• 每朵花都必須放入花瓶，且每個花瓶最多只有一支花
• 編號大的花必須所放的瓶子編號必須大於編號小的花的瓶子編號
• 美學值可以為負
• 每個種類的花只有一朵

下面我們便可以分析題目的思路：
這道題乍一看好像很復雜
但我們試著把每朵花對應每個瓶子的美學值以表格的形式呈現
以樣例為例：

這樣以後我們可以很清楚的發現
每行我們都只選了一個數
且每行所選的列數都比上一行所選的列數大

由此我們便可以這道題轉化成一個類似數字三角形的模型：
**即給定一個f*v的矩陣
要求從第一行走到第f行
每行取走一個數
且該行所取的數必須必上一行所取的書的列數大
求所能取走的最大值**

但還有一點不同的是
我們每一行所取走的數字的列數必須大於等該行的行號，因為必須給前面的花留下足夠的花瓶
同理每一行所能取的最大的花瓶號必須小於等於v-(f-該行行數)

由此我們便可以很容易的得出狀態轉移方程
dp[i][j]=max(dp[i-1][k])+d[i][j];
(i<=f;j<=v;k＜j)
其中dp[i][j]表示從第一行走到第i行並取走該行第j個數所能取得的最大值

for(int i=1;i<=v-f;i++)
    {
        //註意邊界i<=v-f
        dp[1][i]=d[1][i];
        //第一朵花所能獲得的最大美學值都賦值為本身
    }

    for(int i=2;i<=f;i++)
    {
        //從第二多花開始枚舉
        for(int j=i;j<=v-f+i;j++)
        {
            //註意j<=v-f+i
            for(int k=1;k<j;k++)
            {
                //枚舉上一行中最大的dp值
                if(dp[i-1][k]+d[i][j]>dp[i][j])
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][k]+d[i][j];
                }
            }
        }
    }

接下來就是方案輸出的問題了
由於對於多種方案只需要輸出任一方案
所以這其實並不算特別難
設置pre[i][j]表示能讓dp[i][j]最大的上一行的花瓶號
只要在狀態轉移過程中記錄便可

接下來呈上蒟蒻的代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int f,v;
int d[1000][1000];//儲存美學值
int dp[1000][1000];
int pre[1000][1000];

void print(int x,int y)
{
    if(pre[x][y]==y)
    {
        cout<<y<<" ";
        return;
    }

    print(x-1,pre[x][y]);
    cout<<y<<" ";//記得輸出是逆序的
}

int main()
{
    cin>>f>>v;

    for(int i=1;i<=f;i++)
    {
        for(int j=1;j<=v;j++)
        {
            cin>>d[i][j];
        }
    }

    for(int i=1;i<=v-f+1;i++)
    {
        //註意邊界i<=v-f
        dp[1][i]=d[1][i];
        //第一朵花所能獲得的最大美學值都賦值為本身
        pre[1][i]=i;
        //記錄第一行的pre值都為本身
    }
    //註意，因為沒放花的花瓶美學之為1，所以一定不要初始化dp數組為負
    
    for(int i=2;i<=f;i++)
    {
        //從第二多花開始枚舉
        for(int j=i;j<=v-f+i;j++)
        {
            //註意j<=v-f+i
            for(int k=1;k<j;k++)
            {
                //枚舉上一行中最大的dp值
                if(dp[i-1][k]+d[i][j]>dp[i][j])
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][k]+d[i][j];
                    pre[i][j]=k;//記錄方案
                }
            }
        }
    }

    int tx;
    int ty;
    int ans=0;
    for(int i=f;i<=v;i++)
    {
        if(dp[f][i]>ans)
        {
            ans=dp[f][i];
            tx=f;
            ty=i;
        }
    }

    cout<<ans<<endl;
    print(tx,ty);

    return 0;
}

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