題目描述

　　給你一個長度為\(n\)的排列\(a\)，每次要選擇兩個數，交換這兩個數（這兩個數可以相同）。總共要交換\(k\)次。

　　最後要統計數列中有多少位置\(i\)滿足\(\max_{j\leq i}a_i=a_i\)。求前面這個東西的期望。

　　\(n\leq 100,k\leq 80\)

題解

　　我們枚舉每個數\(y\)每在個位置\(x\)的貢獻。把其他數中大於\(y\)的看成\(1\)，把其他數中小於\(y\)的看成\(0\)，然後DP。

　　設\(f_{i,j,k}\)為交換了\(i\)次，\(1\)~\(x-1\)有\(j\)個\(1\)，（\(k\)在下面解釋）的方案數

　　兩條豎線中間是位置\(x\)

　　\(k=0\)：\(|y|\)

　　\(k=1\)：\(y|0|\)

　　\(k=2\)：\(y|1|\)

　　\(k=3\)：\(|0|y\)

　　\(k=4\)：\(|1|y\)

　　轉移很多很繁瑣，大家自己去推吧。。。

　　時間復雜度：總共有\(O(n^2)\)次DP，每次\(O(nk)\)，總的時間復雜度是\(O(n^3k)\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
 

#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];
    sprintf(str,"%s.in",s);
    freopen(str,"r",stdin);
    sprintf(str,"%s.out",s);
    freopen(str,"w"
 
,stdout);
#endif
}
const ll p=1000000007;
ll fp(ll a,ll b)
{
    ll s=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
        if(b&1)
            s=s*a%p;
    return s;
}
int x,y,i,j,k;
int n,m;
int a[100010];
ll f[90][110][5];
void add(ll &a,ll b)
{
    a=(a+b)%p;
}
ll qian0(){return (k==1||k==2)?x-2-j:x-1-j;}
ll qian1(){return j;}
ll hou0(){return (k==2?y+j-x+1:(k==3?y+j-x-1:y+j-x));}
ll hou1(){return (k==2||k==4)?n-y-j-1:n-y-j;}
ll qian0(int k){return (k==1||k==2)?x-2-j:x-1-j;}
ll qian1(int k){return j;}
ll hou0(int k){return (k==2?y+j-x+1:(k==3?y+j-x-1:y+j-x));}
ll hou1(int k){return (k==2||k==4)?n-y-j-1:n-y-j;}
int now(){return (k==1||k==3)?0:((k==2||k==4)?1:-1);}
int where(){return (k==1||k==2)?0:1;}
ll sqr(ll x){return x*x%p;}
ll gao()
{
    memset(f,0,sizeof f);
    int h=0,hh;
    for(i=1;i<x;i++)
        if(a[i]>y)
            h++;
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(a[i]==y)
        {
            hh=i;
            break;
        }
    if(hh==x)
        f[0][h][0]=1;
    else if(hh<x)
        if(a[x]<y)
            f[0][h][1]=1;
        else
            f[0][h][2]=1;
    else
        if(a[x]<y)
            f[0][h][3]=1;
        else
            f[0][h][4]=1;
    for(i=0;i<m;i++)
        for(j=0;j<y;j++)
        {
            for(k=0;k<=4;k++)
                if(f[i][j][k])
                {
                    add(f[i+1][j][k],f[i][j][k]*sqr(qian0()+qian1()));
                    add(f[i+1][j][k],f[i][j][k]*sqr(hou0()+hou1()));
                    add(f[i+1][j][k],f[i][j][k]*2*qian0()%p*hou0());
                    add(f[i+1][j][k],f[i][j][k]*2*qian1()%p*hou1());
                    add(f[i+1][j][k],f[i][j][k]);
                    if(j)
                        add(f[i+1][j-1][k],f[i][j][k]*2*qian1()%p*hou0());
                    if(j<y-1)
                        add(f[i+1][j+1][k],f[i][j][k]*2*qian0()%p*hou1());
                    if(k)
                        add(f[i+1][j][k],f[i][j][k]);
                }
            if(f[i][j][0])
            {
                add(f[i+1][j][1],f[i][j][0]*2*qian0(0));
                if(j)
                    add(f[i+1][j-1][2],f[i][j][0]*2%p*qian1(0));
                add(f[i+1][j][3],f[i][j][0]*2*hou0(0));
                add(f[i+1][j][4],f[i][j][0]*2*hou1(0));
            }
            if(f[i][j][1])
            {
                add(f[i+1][j][0],f[i][j][1]*2);
                add(f[i+1][j][1],f[i][j][1]*2*(qian0(1)+qian1(1)));
                add(f[i+1][j][3],f[i][j][1]*2*hou0(1));
                if(j<y-1)
                    add(f[i+1][j+1][3],f[i][j][1]*2%p*hou1(1));
                add(f[i+1][j][1],f[i][j][1]*2*(qian0(1)+hou0(1)));
                add(f[i+1][j][2],f[i][j][1]*2*hou1(1));
                if(j)
                    add(f[i+1][j-1][2],f[i][j][1]*2%p*qian1(1));
            }
            
            if(f[i][j][2])
            {
                if(j<y-1)
                    add(f[i+1][j+1][0],f[i][j][2]*2);
                add(f[i+1][j][2],f[i][j][2]*2*(qian0(2)+qian1(2)));
                add(f[i+1][j][4],f[i][j][2]*2*hou0(2));
                if(j<y-1)
                    add(f[i+1][j+1][4],f[i][j][2]*2%p*hou1(2));
                add(f[i+1][j][1],f[i][j][2]*2*hou0(2));
                if(j<y-1)
                    add(f[i+1][j+1][1],f[i][j][2]*2%p*qian0(2));
                add(f[i+1][j][2],f[i][j][2]*2*(qian1(2)+hou1(2)));
            }
            
            if(f[i][j][3])
            {
                add(f[i+1][j][0],f[i][j][3]*2);
                add(f[i+1][j][3],f[i][j][3]*2*(hou0(3)+hou1(3)));
                add(f[i+1][j][1],f[i][j][3]*2*qian0(3));
                if(j)
                    add(f[i+1][j-1][1],f[i][j][3]*2*qian1(3));
                add(f[i+1][j][3],f[i][j][3]*2*(qian0(3)+hou0(3)));
                add(f[i+1][j][4],f[i][j][3]*2*hou1(3));
                if(j)
                    add(f[i+1][j-1][4],f[i][j][3]*2*qian1(3));
            }
            
            if(f[i][j][4])
            {
                add(f[i+1][j][0],f[i][j][4]*2);
                add(f[i+1][j][4],f[i][j][4]*2*(hou0(4)+hou1(4)));
                add(f[i+1][j][2],f[i][j][4]*2*qian0(4));
                if(j)
                    add(f[i+1][j-1][2],f[i][j][4]*2*qian1(4));
                add(f[i+1][j][3],f[i][j][4]*2*hou0(4));
                if(j<y-1)
                    add(f[i+1][j+1][3],f[i][j][4]*2*qian0(4));
                add(f[i+1][j][4],f[i][j][4]*2*(qian1(4)+hou1(4)));
            }
        }
    return f[m][0][0];
}
int main()
{
    open("pltj");
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    ll ans=0;
    for(x=1;x<=n;x++)
        for(y=1;y<=n;y++)
            if(y>=x)
                ans=(ans+gao())%p;
    ans=ans*fp(fp(n,2*m),p-2)%p;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

【XSY2668】排列統計 DP