[NOI2012]騎行川藏
題目描述
蛋蛋非常熱衷於挑戰自我，今年暑假他準備沿川藏線騎著自行車從成都前往拉薩。川藏線的沿途有著非常美麗的風景，但在這一路上也有著很多的艱難險阻，路況變化多端，而蛋蛋的體力十分有限，因此在每天的騎行前設定好目的地、同時合理分配好自己的體力是一件非常重要的事情。
由於蛋蛋裝備了一輛非常好的自行車，因此在騎行過程中可以認為他僅在克服風阻做功（不受自行車本身摩擦力以及自行車與地面的摩擦力影響）。某一天他打算騎N段路，每一段內的路況可視為相同：對於第i段路，我們給出有關這段路況的3個參數 si , ki , vi‘ ，其中 si 表示這段路的長度， ki 表示這段路的風阻系數， vi‘ 表示這段路上的風速（表示在這段路上他遇到了順風，反之則意味著他將受逆風影響）。若某一時刻在這段路上騎車速度為v，則他受到的風阻大小為 F = ki ( v - vi‘ )2（這樣若在長度為s的路程內保持騎行速度v不變，則他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi‘ )2 s）。
設蛋蛋在這天開始時的體能值是 Eu ，請幫助他設計一種行車方案，使他在有限的體力內用最短的時間到達目的地。請告訴他最短的時間T是多少。
輸入輸出格式
輸入格式：
第一行包含一個正整數N和一個實數Eu，分別表示路段的數量以及蛋蛋的體能值。
接下來N行分別描述N個路段，每行有3個實數 si , ki , vi‘ ，分別表示第 i 段路的長度，風阻系數以及風速。
輸出格式：
輸出一個實數T，表示蛋蛋到達目的地消耗的最短時間，要求至少保留到小數點後6位。
輸入輸出樣例
輸入樣例#1：3 10000 10000 10 5 20000 15 8 50000 5 6輸出樣例#1：
12531.34496464
說明
【數據規模與約定】
對於10%的數據，N=1；
對於40%的數據，N<=2；
對於60%的數據，N<=100；
對於80%的數據，N<=1000；
對於所有數據，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi‘ < 100。數據保證最終的答案不會超過105。
【提示】
必然存在一種最優的體力方案滿足：蛋蛋在每段路上都采用勻速騎行的方式。
初學拉格朗日乘數法。
把原函數和約束函數*μ合成之後，我們要讓每個變量的偏導是0.
對於本題來說，就是對於任意i，有2 * μ * k[i] * (x[i] - v[i]) = 1 (這個求一下導就好了嘛)
並且有 (∑k[i] * s[i] * (x[i] - v[i])^2 - E)=0 ,(μ的偏導，因為本題只有一個約束。。。)
然後發現μ一定的時候，每個x可以二分求出來；
然後又因為μ越小的時候x越大，而此時μ的偏導也越大。
所以μ的偏導關於μ也有單調性。
所以我們直接二分μ即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define D double
#define maxn 10005
using namespace std;
const D eps=1e-12;
D E,s[maxn],u[maxn];
D k[maxn],v[maxn],tot=0;
int n;
inline void calc(int pos,D miu){
D l=u[pos],r=1e9,mid;
while(r-l>=eps){
mid=(l+r)/2;
if(2.00*miu*k[pos]*mid*mid*(mid-u[pos])>=1.00) r=mid;
else l=mid;
}
v[pos]=mid;
}
inline bool work(D miu){
D energy=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
calc(i,miu);
energy+=k[i]*s[i]*(v[i]-u[i])*(v[i]-u[i]);
}
return E-energy>=-eps;
}
int main(){
scanf("%d%lf",&n,&E);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",s+i,k+i,u+i);
D l,r,mid,an;
l=0.0,r=1e9;
while(r-l>=eps){
mid=(l+r)/2;
if(work(mid)) r=mid;
else l=mid;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
calc(i,mid);
tot+=s[i]/v[i];
}
printf("%.11lf\n",tot);
return 0;
}
[NOI2012]騎行川藏