bzoj2876 [NOI2012]騎行川藏（拉格朗日乘數法）
題目描述
蛋蛋非常熱衷於挑戰自我，今年暑假他準備沿川藏線騎著自行車從成都前往拉薩。川藏線的沿途有著非常美麗的風景，但在這一路上也有著很多的艱難險阻，路況變化多端，而蛋蛋的體力十分有限，因此在每天的騎行前設定好目的地、同時合理分配好自己的體力是一件非常重要的事情。
由於蛋蛋裝備了一輛非常好的自行車，因此在騎行過程中可以認為他僅在克服風阻做功（不受自行車本身摩擦力以及自行車與地面的摩擦力影響）。某一天他打算騎\(N\)段路，每一段內的路況可視為相同：對於第\(i\)段路，我們給出有關這段路況的3個參數 \(s_i ,k_i ,v_i'\) ，其中 \(s_i\) 表示這段路的長度， \(k_i\)
設蛋蛋在這天開始時的體能值是 \(Eu\) ，請幫助他設計一種行車方案，使他在有限的體力內用最短的時間到達目的地。請告訴他最短的時間\(T\)是多少。
輸入輸出格式
輸入格式：
第一行包含一個正整數\(N\)
接下來\(N\)行分別描述\(N\)個路段，每行有3個實數 \(s_i , k_i , v_i'\) ，分別表示第 \(i\) 段路的長度，風阻系數以及風速。
輸出格式：
輸出一個實數\(T\)，表示蛋蛋到達目的地消耗的最短時間，要求至少保留到小數點後\(6\)位。
輸入輸出樣例
輸入樣例#1：
3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6輸出樣例#1：
12531.34496464說明
【數據規模與約定】
對於10%的數據，\(N=1\)；
對於40%的數據，\(N<=2\)；
對於60%的數據，\(N<=100\)
對於80%的數據，\(N<=1000\)；
對於所有數據，\(N \leq10000\)，\(0 \leq Eu \leq 10^8,0 < s_i \leq 100000,0 < k_i \leq 1,-100 < v_i' < 100\)。數據保證最終的答案不會超過\(10^5\)。
【提示】
必然存在一種最優的體力方案滿足：蛋蛋在每段路上都采用勻速騎行的方式。
題解
先講一講拉格朗日乘數法：
拉格朗日乘數法是用來解決多元函數的最優值問題（最大、最小）
一般形式為：函數\(f(x_1,x_2,x_3..x_n)\)滿足限制\(g_i(x_1,x_2,x_3...x_n)=0,(i\in 1,2,3....m)\)
解法：定義\(h(x_1,x_2,x_3...x_n,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3...\lambda_m)=f(x_1,x_2,x_3...x_n)+\Sigma_{i=1}^m\lambda_ig_i(x_1,x_2,x_3...x_n)\)
函數\(h\)的極值就是函數\(f\)的最優值
\(h\)極值用導數求
再回到這道題，只需要滿足一種限制：\(g(x)=\Sigma_{i=1}^n s_i\ast k_i(x_i-v_i')^2\leq Eu\)，並且，當\(g(x)=Eu\)時最優；
於是就有\(g(x)\)函數：\(g(x)=\Sigma_{i=1}^n s_i\ast k_i(x_i-v_i')^2-Eu=0\)
\(f(x)\)函數為：\(f(x)=\Sigma_{i=1}^n \frac {s_i}{x_i}\)，\(x_i\)為每段路的騎行速度
則\(h(x)=\Sigma_{i=1}^n \frac{s_i}{x_i}+\lambda\ast\Sigma s_i\ast k_i(x_i-v_i')^2-Eu\)
將它求導：\(h'(x)=-\Sigma_{i=1}^n \frac{s_i}{x_i^2}+2\ast\lambda\ast\Sigma_{i=1}^n s_i\ast k_i(x_i-v_i')\)
二分求\(h'(x)=0\)時的\(x\)值
二分時每一個\(x_i\)也是二分求
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#define QAQ int
#define TAT long long
#define OwO bool
#define ORZ double
#define F(i,j,n) for(QAQ i=j;i<=n;++i)
#define E(i,j,n) for(QAQ i=j;i>=n;--i)
#define MES(i,j) memset(i,j,sizeof(i))
#define MEC(i,j) memcpy(i,j,sizeof(j))
using namespace std;
const QAQ N=10005;
QAQ n;
ORZ m;
struct data{
ORZ s,k,v;
}a[N];
ORZ l,r,ans,v[N];
OwO pd(ORZ lmd){
F(i,1,n){
ORZ l=a[i].v,r=1000000,ans=0;
F(j,1,100){
ORZ mid=(l+r)/2.0;
if(2*lmd*a[i].k*mid*mid*(mid-a[i].v)<=1.0) l=mid,ans=mid;
else r=mid;
}
v[i]=ans;
}
ORZ ans=0;
F(i,1,n) ans+=a[i].k*(v[i]-a[i].v)*(v[i]-a[i].v)*a[i].s;
return ans>=m;
}
QAQ main(){
scanf("%d%lf",&n,&m);
F(i,1,n) scanf("%lf%lf%lf",&a[i].s,&a[i].k,&a[i].v);
l=0;r=10000000;
F(i,1,100){
ORZ mid=(l+r)/2.0;
if(pd(mid)) l=mid;
else r=mid;
}
F(i,1,n) ans+=a[i].s/v[i];
printf("%.6lf\n",ans);
return 0;
}bzoj2876 [NOI2012]騎行川藏（拉格朗日乘數法）