題目鏈接：https://ac.2333.moe/Problem/view.xhtml?id=1643

• 問題描述

• 輸入兩個正整數 n, m,輸出 n!/m!,其中階乘定義為 n!= 1*2*3*...*n (n>=1)。 比如,若 n=6, m=3,則 n!/m!=6!/3!=720/6=120。

  是不是很簡單?現在讓我們把問題反過來:輸入 k=n!/m!,找到這樣的整數二元組(n,m) (n>m>=1)。

  如果答案不唯一,n 應該盡量小。比如,若 k=120,輸出應該是 n=5, m=1,而不是 n=6, m=3,因為 5!/1!=6!/3!=120,而 5<6。

• 輸入
• 輸入包含不超過 100 組數據。每組數據包含一個整數 k (1<=k<=10^9)。
• 輸出
• 對於每組數據,輸出兩個正整數 n 和 m。無解輸出"Impossible",多解時應讓 n 盡量小。
• 樣例輸入

• 120
  1
  210

• 樣例輸出

• Case 1: 5 1
  Case 2: Impossible
  Case 3: 7 4

題解：

首先，impossible的情況只有1；並且所有k為奇數的情況，只能up = K, down = K - 1；

一開始，我想的是對於K，直接暴力枚舉up = 1~K，篩掉k%up != 0的，然後剩下的只能while循環去除up - 1、up - 2、up - 3……這樣，然後發現，TLE在O(K)枚舉上；

然後改換思路，考慮到對於任意一個K，若 n × (n+1) × (n+2) × … × (n+len) = K，則顯然len不可能大於p - 1，其中p滿足p! > K 且 (p-1)! < K；

then，枚舉len = p-1 ~ 1：對於每個len，down必須滿足pow(down,len) < K，然後從1開始枚舉down，算出 (down+1) × (down+2) × … × (down+len)，判斷一下即可。

最後考慮到之前O(K)枚舉超時，所以特判當len=1時直接輸出up = K, down = K - 1.

AC代碼：

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll fact[15];
void init()
{
    fact[
 
0]=1;
    for(int i=1;i<=13;i++)
    {
        fact[i]=i*fact[i-1];
        //printf("fact[%d]=%I64d\n",i,fact[i]);
    }
}
ll k;
int main()
{
    init();
    int kase=0;
    while(scanf("%I64d",&k)!=EOF)
    {
        if(k==1)
        {
            printf("Case %d: Impossible\n",++kase);
            continue;
        }
        if(k%2==1)
        {
            printf("Case %d: %I64d %I64d\n",++kase,k,k-1);
            continue;
        }

        int maxlen;
        bool ok=0;
        for(int i=1;i<=13;i++)
        {
            if(fact[i]==k)
            {
                printf("Case %d: %d %d\n",++kase,i,1);
                ok=1;
                break;
            }

            if(fact[i]>k && fact[i-1]<k)
            {
                maxlen=i-1;
                break;
            }
        }
        if(ok) continue;

        ok=0;
        for(int len=maxlen;len>=1;len--)
        {
            if(len==1)
            {
                printf("Case %d: %I64d %I64d\n",++kase,k,k-1);
                break;
            }

            for(ll down=1;pow((double)down,(double)len)<(double)k;down++)
            {
                ll prod=1; for(int i=1;i<=len;i++) prod*=down+i;

                if(prod==k)
                {
                    printf("Case %d: %I64d %I64d\n",++kase,down+len,down);
                    ok=1;
                    break;
                }
                if(prod>k) break;
            }

            if(ok) break;
        }
    }
}

NBUTOJ 1643 - 階乘除法 - [數學題]