Python

二叉堆（binary heap）

二叉堆是一種特殊的堆，二叉堆是完全二叉樹或者是近似完全二叉樹。二叉堆滿足堆特性：父節點的鍵值總是保持固定的序關系於任何一個子節點的鍵值，且每個節點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆。
當父節點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時為最大堆。 當父節點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時為最小堆。

二叉堆的存儲

二叉堆一般用數組來表示。如果根節點在數組中的位置是1，第n個位置的子節點分別在2n和 2n+1。因此，第1個位置的子節點在2和3，第2個位置的子節點在4和5。以此類推。這種基於1的數組存儲方式便於尋找父節點和子節點。
如果存儲數組的下標基於0，那麽下標為i的節點的子節點是2i + 1與2i + 2；其父節點的下標是?floor((i ? 1) ∕ 2)?, 函數floor(x), 其功能是“向下取整”，或者說“向下舍入”，即取不大於x的最大整數（與“四舍五入”不同，下取整是直接取按照數軸上最接近要求值的左邊值，即不大於要求值的最大的那個值）。比如floor(1.1),floor(1.9)都是返回1。
如下圖的兩個堆：

基本操作

插入節點

在數組的最末尾插入新節點。然後自下而上調整子節點與父節點（稱作up-heap或bubble-up, percolate-up, sift-up, trickle up, heapify-up, cascade-up操作）：比較當前節點與父節點，不滿足堆性質則交換。從而使得當前子樹滿足二叉堆的性質。時間復雜度為O(log n)。

刪除節點

刪除根節點用於堆排序。
對於最大堆，刪除根節點就是刪除最大值；對於最小堆，是刪除最小值。然後，把堆存儲的最後那個節點移到填在根節點處。再從上而下調整父節點與它的子節點：對於最大堆，父節點如果小於具有最大值的子節點，則交換二者。這一操作稱作down-heap或bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max等。直至當前節點與它的子節點滿足堆性質為止。

構造二叉堆

一個直觀辦法是從單節點的二叉堆開始，每次插入一個節點。其時間復雜度為 {\displaystyle O(n\log n)} O(n\log n)。
最優算法是從一個節點元素任意放置的二叉樹開始，自底向上對每一個子樹執行刪除根節點時的Max-Heapify算法（這是對最大堆而言）使得當前子樹成為一個二叉堆。具體而言，假設高度為h的子樹均已完成二叉堆化，那麽對於高度為h+1的子樹，把其根節點沿著最大子節點的分枝做調整，最多需要h步完成二叉堆化。可以證明，這個算法的時間復雜度為O(n)。

代碼

#!/usr/bin/env python2
# -*- coding: utf-8 -*-
"""


@author: gsharp
"""

class BinaryHeap:
    def __init__(self, n):
        self.heap = [0] * n
        self.size = 0

    def remove_min(self):
        removed = self.heap[0]
        self.size -= 1
        self.heap[0] = self.heap[self.size]
        self._down(0)
        return removed

    def add(self, value):
        self.heap[self.size] = value
        self._up(self.size)
        self.size += 1

    def _up(self, pos):
        while pos > 0:
            parent = (pos - 1) // 2
            if self.heap[pos] >= self.heap[parent]:
                break
            self.heap[pos], self.heap[parent] = self.heap[parent], self.heap[pos]
            pos = parent

    def _down(self, pos):
        while True:
            child = 2 * pos + 1
            if child >= self.size:
                break
            if child + 1 < self.size and self.heap[child + 1] < self.heap[child]:
                child += 1
            if self.heap[pos] <= self.heap[child]:
                break
            self.heap[pos], self.heap[child] = self.heap[child], self.heap[pos]
            pos = child


def test():
    h = BinaryHeap(10)
    h.add(5)
    h.add(7)
    h.add(9)
    h.add(4)
    h.add(3)
    print(h.heap)
    h.add(1)
    print(h.heap)
    h.add(2)
    print(h.heap)
    print(h.remove_min())
    print(h.remove_min())
    print(h.remove_min())


test()

二叉堆 及 大根堆的python實現