【NOIP2016提高A組8.11】自然數
阿新 • • 發佈：2018-05-16
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題目
分析
\(O(n)\)求出mex(1,i)(1<=i<=n)：
雖然0<=ai<=10^9,但只有n個數，所以mex一定小於等於n for(long long j=1;j<=n;j++) { if(a[j]<=n) bz[a[j]]=false; for(long long k=top;k<=n;k++) { if(bz[k]) { top=k; ans+=top; break; } } }
顯然mex是單調不下降的，
接著用線段樹維護mex。
如果刪掉a[i]，從下一個mex比a[i]大的位置到下一個a[i]的位置之前的mex都會改變，都會變成a[i]。
所以用線段樹維護區間最大mex以及區間mex和。
#include <cmath> #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> const long long maxlongint=2147483647; const long long mo=1000000007; const long long N=2010000; using namespace std; long long a[N],n,ans=0,next[N]; long long bz[N]={0}; struct ddx { long long sum,mxe,lazy; }tree[N*4]; long long put(long long v,long long l,long long r,long long x,long long y) { if(l==r) { tree[v].mxe=tree[v].sum=y; return 0; } long long mid=(l+r)/2; if(x<=mid) put(v*2,l,mid,x,y); else put(v*2+1,mid+1,r,x,y); tree[v].sum=tree[v*2].sum+tree[v*2+1].sum; tree[v].mxe=max(tree[v*2].mxe,tree[v*2+1].mxe); } long long findpos(long long v,long long l,long long r,long long x) { if(l==r) { if(tree[v].mxe>x) return l; else return maxlongint; } long long mid=(l+r)/2; if(tree[v].lazy>=0) { tree[v*2].mxe=tree[v*2+1].mxe=tree[v*2].lazy=tree[v*2+1].lazy=tree[v].lazy; tree[v*2].sum=tree[v].lazy*(mid-l+1); tree[v*2+1].sum=tree[v].lazy*(r-mid); tree[v].lazy=-1; } long long o=0; if(tree[v*2].mxe>x) o=findpos(v*2,l,mid,x); else o=findpos(v*2+1,mid+1,r,x); tree[v].sum=tree[v*2].sum+tree[v*2+1].sum; tree[v].mxe=max(tree[v*2].mxe,tree[v*2+1].mxe); return o; } long long change(long long v,long long l,long long r,long long x,long long y,long long z) { if(l==x && y==r) { tree[v].sum=z*(r-l+1); tree[v].mxe=z; tree[v].lazy=z; return 0; } long long mid=(l+r)/2; if(tree[v].lazy>=0) { tree[v*2].mxe=tree[v*2+1].mxe=tree[v*2].lazy=tree[v*2+1].lazy=tree[v].lazy; tree[v*2].sum=tree[v].lazy*(mid-l+1); tree[v*2+1].sum=tree[v].lazy*(r-mid); tree[v].lazy=-1; } if(y<=mid) change(v*2,l,mid,x,y,z); else if(x>mid) change(v*2+1,mid+1,r,x,y,z); else { change(v*2,l,mid,x,mid,z); change(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y,z); } tree[v].sum=tree[v*2].sum+tree[v*2+1].sum; tree[v].mxe=max(tree[v*2].mxe,tree[v*2+1].mxe); } long long find(long long v,long long l,long long r,long long x,long long y) { if(l==x && y==r) { ans+=tree[v].sum; return 0; } long long mid=(l+r)/2; if(tree[v].lazy>=0) { tree[v*2].mxe=tree[v*2+1].mxe=tree[v*2].lazy=tree[v*2+1].lazy=tree[v].lazy; tree[v*2].sum=tree[v].lazy*(mid-l+1); tree[v*2+1].sum=tree[v].lazy*(r-mid); tree[v].lazy=-1; } if(y<=mid) find(v*2,l,mid,x,y); else if(x>mid) find(v*2+1,mid+1,r,x,y); else { find(v*2,l,mid,x,mid); find(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y); } tree[v].sum=tree[v*2].sum+tree[v*2+1].sum; tree[v].mxe=max(tree[v*2].mxe,tree[v*2+1].mxe); } int main() { scanf("%lld",&n); for(long long i=1;i<=n;i++) { scanf("%lld",&a[i]); if(a[i]<=n) { next[bz[a[i]]]=i; bz[a[i]]=i; } } for(long long i=1;i<=n;i++) if(!next[i]) next[i]=n+1; memset(bz,true,sizeof(bz)); for(long long i=0;i<=N*4-1;i++) tree[i].lazy=-1; long long top=0; ans=0; for(long long j=1;j<=n;j++) { if(a[j]<=n) bz[a[j]]=false; for(long long k=top;k<=n;k++) { if(bz[k]) { top=k; ans+=top; break; } } put(1,1,n,j,top); } for(long long i=2;i<=n;i++) { if(a[i-1]<=n) { long long pos=findpos(1,1,n,a[i-1]); if(next[i-1]-1>=pos) change(1,1,n,pos,next[i-1]-1,a[i-1]); } find(1,1,n,i,n); } printf("%lld",ans); }
【NOIP2016提高A組8.11】自然數