「BZOJ1485」[HNOI2009] 有趣的數列

Description

我們稱一個長度為2n的數列是有趣的，當且僅當該數列滿足以下三個條件：

(1)它是從1到2n共2n個整數的一個排列{a_i}；

(2)所有的奇數項滿足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶數項滿足a₂<a₄<…<a_2n；

(3)任意相鄰的兩項a_2i-1與a_2i(1≤i≤n)滿足奇數項小於偶數項，即：a_2i-1<a_2i。

現在的任務是：對於給定的n，請求出有多少個不同的長度為2n的有趣的數列。因為最後的答案可能很大，所以只要求輸出答案 mod P的值。

Input

輸入文件只包含用空格隔開的兩個整數n和P。輸入數據保證，50%的數據滿足n≤1000，100%的數據滿足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

僅含一個整數，表示不同的長度為2n的有趣的數列個數mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5

對應的5個有趣的數列分別為（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

題解

對於 A₄ 來說 它一定大於前三個

對於 A₃ 來說 它一定小於後五個

所以可以推斷 A_I <2*i

可以容易得到一個n^2的dp

f[i][j]表示前i位填到數字j的方案，即第i位用的是j

f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j-1] (j<=2*i-1)

f[i][j]=f[i][j-1] (j>2*i-1)

輸出前幾項，發現是個卡特蘭數列 F(n)=C(2*n,n)/(n+1)

分解質因數求即可

至於為什麽是卡特蘭數列？其實就是從左往右掃每個數，把放在奇數項看作入棧，偶數看作出棧

50 分 dp

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,mod;
int f[1005][2005];
int main(){
    scanf(
 
"%d%d",&n,&mod);
    for(int i=0;i<=2*n;i++) f[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=2*n;j++)
            if (j<=2*i-1) f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i-1][j-1])%mod;
            else f[i][j]=f[i][j-1]%mod;
    printf("%d\n",f[n][2*n]);
    return 0;
}

100 分 卡特蘭

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e6+5;
ll pri[MAXN],mn[MAXN*2],num[MAXN*2],ans=1;
int n,mod,cnt;
bool use[MAXN*2];
void getpri(){
    for (int i=2;i<=2*n;i++){
        if (!use[i]) pri[++cnt]=i,mn[i]=cnt;
        for (int j=1;pri[j]*i<=2*n&&j<=cnt;j++){
            use[pri[j]*i]=1,mn[pri[j]*i]=j;
            if (i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}
void add(int x,int f){
    while (x!=1){
        num[mn[x]]+=f;
        x/=pri[mn[x]];
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    getpri();
    for (int i=2*n;i>n;i--) add(i,1);
    for (int i=1;i<=n;i++) add(i,-1);
    add(n+1,-1);
    for (int i=1;i<=cnt;i++) while (num[i]--) ans=(ans*pri[i])%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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