簡述

卡特蘭數又稱卡塔蘭數，它是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列，其前幾項為 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, ......

公式

1.遞迴公式1     

2.遞迴公式2     

3.組合公式1     

4.組合公式 2    

5.增長趨勢      

應用

1. 二叉樹的計數：已知二叉樹有 n 個結點，求能構成多少種不同的二叉樹
2. 括號化問題：一個合法的表示式由()包圍，()可以巢狀和連線，如：(())()也是合法表示式，現給出 n 對括號，求可以組成的合法表示式的個數
3. 劃分問題：將一個凸 n+2 多邊形區域分成三角形區域的方法數
4. 出棧問題：一個棧的進棧序列為1,2,3,..n，求不同的出棧序列有多少種
5. 路徑問題：在 n*n 的方格地圖中，從一個角到另外一個角，求不跨越對角線的路徑數有多少種
6. 握手問題：2n 個人均勻坐在一個圓桌邊上，某個時刻所有人同時與另一個人握手，要求手之間不能交叉，求共有多少種握手方法

This is the code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long cat[50];
long long Cat1(int n)
{
    memset(cat,0,sizeof(cat));
    cat[0]=cat[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        for(int j=0;j<i;++j)
            cat[i]+=cat[j]*cat[i-j-1];
    }
    return cat[n];
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%lld\n",Cat1(n));
    return 0;
}
 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long cat[50];
long long Cat2(int n)
{
    memset(cat,0,sizeof(cat));
    cat[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        cat[i]=((cat[i-1])*(i*4-2))/(i+1);
    }
    return cat[n];
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%lld\n",Cat2(n));
    return 0;
}
 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long cat[50];
long long tatal;
void Cat3(int n)
{
    tatal=1;
    for(int i=0;i<n;++i)//求c(2n,n);
        tatal=tatal*(2*n-i)/(i+1);
    tatal/=(n+1);
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    Cat3(n);
    printf("%lld\n",tatal);
    return 0;
}

兩個公式相當於一個，第一個是用第二個化簡來的

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long cat[50];
long long tatal;
void Cat4(int n)
{
    tatal=1;
    for(int i=0;i<n;++i)//求c(2n,n);
        tatal=tatal*(2*n-i)/(i+1);
    tatal=tatal-tatal*n/(n+1);
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    Cat4(n);
    printf("%lld\n",tatal);
    return 0;
}