五大經典算法之回溯法
一、基本概念
??回溯法，又稱為試探法，按選優條件向前不斷搜索，以達到目標。但是當探索到某一步時，如果發現原先選擇並不優或達不到目標，就會退回一步重新選擇，這種達不到目的就退回再走的算法稱為回溯法。
與窮舉法的區別和聯系：
相同點：它們都是基於試探的。
區別：窮舉法要將一個解的各個部分全部生成後，才檢查是否滿足條件，若不滿足，則直接放棄該完整解，然後再嘗試另一個可能的完整解，它並沒有沿著一個可能的完整解的各個部分逐步回退生成解的過程。而對於回溯法，一個解的各個部分是逐步生成的，當發現當前生成的某部分不滿足約束條件時，就放棄該步所做的工作，退到上一步進行新的嘗試，而不是放棄整個解重來。
二、基本思想
??對於可以使用回溯法來解決的問題，首先可以將其解空間可以看成一棵解空間樹。在回溯法中，每次擴大當前部分解時，都面臨一個可選的狀態集合（所有的子樹），每個樹結點代表一個可能的部分解。
??回溯法對任一解的生成，一般都采用逐步擴大解的方式。每前進一步，都試圖在當前部分解的基礎上擴大該部分解。它在問題的狀態空間樹中，從開始結點（根結點）出發，以深度優先搜索整個狀態空間。這個開始結點成為活結點，同時也成為當前的擴展結點。在當前擴展結點處，搜索向縱深方向移至一個新結點。這個新結點成為新的活結點，並成為當前擴展結點。如果在當前擴展結點處不能再向縱深方向移動，則當前擴展結點就成為死結點。此時，應往回移動（回溯）至最近的活結點處，並使這個活結點成為當前擴展結點。回溯法以這種工作方式遞歸地在狀態空間中搜索，直到找到所要求的解或解空間中已無活結點時為止。
三、解題步驟(思路)
- 針對給定的問題，定義問題的解空間；
- 確定易於搜索的解空間結構；
- 以深度優先方式搜索解空間，並且在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索。（這裏的剪枝函數就是判斷該結點是否滿足問題題設，如果滿足則向下搜索，不滿足則在此剪枝）
四、算法框架
1. 遞歸實現：
?變量解釋：
??x：存儲試探解的數組
??n：解空間樹的層數
??i：搜索目前所達到的層數
??start：子節點解空間的最小值
??end：子節點解空間的最大值
int x[n]; void backtrack (int i) { if (i > n) { 回溯結束； } else { // 這裏回溯子節點的解空間為start~end for (j = start; j <= end; j++) { // 滿足條件，向下搜索 if (j滿足題設條件) { x[i] = j; backtrack(i+1); // 不滿足條件，在此剪枝（即回溯） } else { } } } }
?2. 非遞歸實現：
?變量解釋：
??x：存儲試探解的數組
??n：解空間樹的層數
??i：搜索目前所達到的層數
??start：子節點解空間的最小值
??end：子節點解空間的最大值
void f_backtrack(int i) {
//初始化解向量
for (int j = 0; j < n; j++) {
x[j] = 1;
}
while (i >= 1) {
while (x[i] <= n) {
if (place(i)) {
if (i == n) {
回溯結束；
break;
// 滿足條件，向下搜索
} else {
i++;
x[i] = 1;
}
// 不滿足條件，在此剪枝（即回溯）
} else {
x[i]++;
}
}
//遍歷完子節點解空間後，向上剪枝（即回溯）
x[i] = 1;
i--;
x[i]++;
}
} 相比之下，遞歸設計方法比較簡單，而非遞歸方法，也就是循環方法設計細節比較多，但如果掌握了其特點，對不同問題的適用性很強（即代碼只需要很少的修改就可以應用到不同問題），加之其最大的優勢：效率更高（因為遞歸的實現是通過調用函數本身，函數調用的時候，每次調用時要做地址保存，參數傳遞等，這是通過一個遞歸工作棧實現的。具體是每次調用函數本身要保存的內容包括：局部變量、形參、調用函數地址、返回值。那麽，如果遞歸調用N次，就要分配N局部變量、N形參、N調用函數地址、N返回值。這勢必是影響效率的。）
五、經典實現
經典問題：八皇後問題
??八皇後問題，是一個古老而著名的問題，是回溯算法的典型例題。該問題是十九世紀著名的數學家高斯1850年提出：
??在8X8格的國際象棋上擺放八個皇後，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇後都不能處於同一行、同一列或同一斜線上（斜率為1），問有多少種擺法。高斯認為有76種方案。1854年在柏林的象棋雜誌上不同的作者發表了40種不同的解，後來有人用圖論的方法解出92種結果。
遞歸實現為以下代碼中backtrack方法
非遞歸實現為以下代碼中f_backtrack方法：
#include <iostream>
using namespace std;
int n;
int *x;
int sum;
bool place(int k)
{
for (int j = 1; j < k; j++)
if (abs(x[k] - x[j]) == abs(k - j) || x[j] == x[k])
return false;
return true;
}
void output()
{
sum++; //sum為所有的可行的解
for (int m = 1; m <= n; m++)
{
cout << "<" << m << "," << x[m] << ">"; //這一行用輸出當遞歸到葉節點的時候，一個可行解
}
cout << endl;
}
void f_backtrack(int i)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{ //初始化解向量
x[j] = 1;
}
while (i >= 1)
{
while (x[i] <= n)
{
if (place(i))
{ //得到可行解
if (i == n)
{
output();
break;
} //得到最終可行解，退出
else
{ //得到部分可行解，搜索下一行
i++;
x[i] = 1;
}
}
else
{ //當前解不可行
x[i]++;
}
}
x[i] = 1;
i--;
x[i]++; //回溯
}
}
void backtrack(int i)
{
if (i > n)
{
output();
}
else
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
x[i] = j;
if (place(i))
{
backtrack(i + 1);
}
else
{
}
}
}
}
int main()
{
n = 8;
sum = 0;
x = new int[n + 1];
for (int i = 0; i <= n; i++)
x[i] = 0;
backtrack(1);
cout << "方案共有" << sum << endl;
} 五大經典算法之回溯法